Question

【題目】如圖，點(diǎn)B（0，b），點(diǎn)A（a，0）分別在y軸、x軸正半軸上，且滿足+（b2﹣16）2=0．

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，∠OAB的度數(shù)；

（2）如圖1，已知H（0，1），在第一象限內(nèi)存在點(diǎn)G，HG交AB于E，使BE為△BHG的中線，且S△BHE=3，

①求點(diǎn)E到BH的距離；

②求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）如圖2，C，D是y軸上兩點(diǎn)，且BC=OD，連接AD，過點(diǎn)O作MN⊥AD于點(diǎn)N，交直線AB于點(diǎn)M，連接CM，求∠ADO+∠BCM的值．

Answer 1

【答案】(1)、45°；(2)、2；(4，5)；(3)、180°.

【解析】

試題分析：(1)、根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出關(guān)于a、b的方程組，求得a、b即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠OAB的度數(shù)；(2)、作EF⊥y軸于F，構(gòu)造等腰直角三角形BEF，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)，利用△BHE的面積即可得到點(diǎn)E到BH的距離；設(shè)G（m，n），根據(jù)BE為△BHG的中線，求得點(diǎn)G坐標(biāo)即可；(3)、過點(diǎn)B作BK⊥OC，交MN于點(diǎn)K，然后證明△OBK≌△OAD、△MKB≌△MCB，從而可證明∠ADO+∠BCM=180°．

試題解析：(1)、∵+（b2﹣16）2=0， ∴a﹣b=0，b2﹣16=0， 解得：b=4，a=4或b=﹣4，a=﹣4，

∵A點(diǎn)在x軸正半軸，B點(diǎn)在y軸正半軸上， ∴b=4，a=4， ∴A（4，0），B（0，4），

∴OA=OB=4， ∴∠OAB=45°；

(2)、①如圖1，作EF⊥y軸于F， ∵B（0，4），H（0，1）， ∴BH=OB﹣OH=4﹣1=3，

∵OA=OB=4， ∴△OAB為等腰直角三角形， ∴∠OBA=∠OAB=45°， ∴△BFE為等腰直角三角形，

∴BF=EF=2， ∴OF=OB﹣BF=4﹣1=3， ∴E（2，3）， ∴E（2，3）為GH的中點(diǎn)， ∵S△BHE=3，

∴BH×EF=3，即×3×EF=3， ∴EF=2， 故點(diǎn)E到BH的距離為2．

②設(shè)G（m，n），則∵BE為△BHG的中線， ∴，， 解得m=4，n=5，

∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5）；

(3)、如圖2，過點(diǎn)B作BK⊥OC，交MN于點(diǎn)K，則∠KBO=∠DOA， ∵MN⊥AD，

∴∠DON+∠NOA=90°， ∴∠3+∠NOA=90°， ∵∠NOA+∠1=90°， ∴∠3=∠1，

在△KOB和△OAD中， ， ∴△KOB≌△OAD（ASA）， ∴KB=OD，∠2=∠7，

∵BC=OD， ∴KB=BC， ∵OB=OA，∠BOA=90°， ∴∠OBA=45°， ∴∠9=∠8=45°，

在△MKB和△MCB中， ， ∴△MKB≌△MCB（SAS）， ∴∠6=∠5，

∵∠7+∠6=180°， ∴∠2+∠5=180°，即∠ADO+∠BCM=180°．