Question

（2009•豐臺區(qū)一模）已知拋物線與x軸交于不同的兩點(diǎn)A（x₁，0）和B（x₂，0），與y軸交于點(diǎn)C，且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩個根（x₁＜x₂）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)A作AD∥CB交拋物線于點(diǎn)D，求四邊形ACBD的面積；
（3）如果P是線段AC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），過點(diǎn)P作平行于x軸的直線l交BC于點(diǎn)Q，那么在x軸上是否存在點(diǎn)R，使得△PQR為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過解方程求出A、B的坐標(biāo)，代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．（由于A、B的坐標(biāo)是方程的兩個根，那么拋物線的解析式其實(shí)就是二次項(xiàng)系數(shù)與方程的代數(shù)式部分的乘積）．
（2）可將四邊形分成三角形ABC和ABD兩部分求解，已知了AB的長，關(guān)鍵是求出C、D的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)．求D點(diǎn)坐標(biāo)時，可先求出直線BC的解析式，根據(jù)BC∥AD，那么直線AD與直線BC的斜率相同，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)即可求出直線AD的解析式，聯(lián)立拋物線即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后按上面所說的四邊形的面積求法進(jìn)行計(jì)算即可．
（3）先根據(jù)直線AC、BC的解析式設(shè)出P、Q的坐標(biāo)（由于P、Q的縱坐標(biāo)相同，因此可設(shè)縱坐標(biāo)，然后根據(jù)直線解析式表示出橫坐標(biāo)）．分三種情況：
①PQ=PR，此時P點(diǎn)縱坐標(biāo)與PQ的長相等，據(jù)此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．進(jìn)而可求出R的坐標(biāo)．
②PQ=QR，同①
③PR=QR，R在PQ的垂直平分線上，此時P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是PQ的一半．由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．進(jìn)而可求出R的坐標(biāo)．
解答：解：（1）解方程x²-2x-3=0，
得x₁=-1，x₂=3．
∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0）．
∴，
解，得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+2．

（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．
又點(diǎn)B（3，0），可求直線BC的解析式為y=-x+2．
∵AD∥CB，
∴設(shè)直線AD的解析式為y=-x+b′．
又點(diǎn)A（-1，0），
∴b′=-，直線AD的解析式為y=-x-．
解，
得，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，）．
過點(diǎn)D作DD’⊥x軸于D’，DD’=，則又AB=4．
∴四邊形ACBD的面積S=AB•OC+AB•DD’=．

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)R，設(shè)直線l交y軸于點(diǎn)E（0，m），
∵點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，
∴0＜m＜2，
∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，2），
∴可求直線AC的解析式為y=2x+2，
∴點(diǎn)P（m-1，m）．
∵直線BC的解析式為y=-x+2，
∴點(diǎn)Q（-m+3，m）．
∴PQ=-2m+4．在△PQR中，
①當(dāng)RQ為底時，過點(diǎn)P作PR₁⊥x軸于點(diǎn)R₁，則∠R₁PQ=90°，PQ=PR₁=m．
∴-2m+4=m，
解得m=，
∴點(diǎn)P（-，），
∴點(diǎn)R₁坐標(biāo)為（，0）．
②當(dāng)RP為底時，過點(diǎn)Q作QR₂⊥x軸于點(diǎn)R₂，
同理可求，點(diǎn)R₂坐標(biāo)為（1，0）．
③當(dāng)PQ為底時，取PQ中點(diǎn)S，過S作SR₃⊥PQ交x軸于點(diǎn)R₃，
則PR₃=QR₃，∠PR₃Q=90度．
∴PQ=2R₃S=2m．
∴-2m+4=2m，
解，得m=1，
∴點(diǎn)P（-，1），點(diǎn)Q（，1），可求點(diǎn)R₃坐標(biāo)為（，0）．
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)R₁，點(diǎn)R₂，點(diǎn)R₃都滿足條件．
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)R，它們分別是R₁（，0），R₂（1，0）和點(diǎn)R₃（，0）．
點(diǎn)評：本題考查一元二次方程的解法，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點(diǎn)、等腰三角形的判定等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力．