Question

已知直角梯形ABCD如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，∠DCB=30°，AB邊在y軸上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為6，CQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為12，過CD的直線l交x軸于點(diǎn)E，E點(diǎn)坐標(biāo)為（18，0）．
（1）求直線l的解析式，以及點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）P為線段CD上一動點(diǎn)，連結(jié)PQ、OP，探究△POQ的周長，并求出當(dāng)周長最小時(shí)，P的坐標(biāo)及此時(shí)的該三角形的周長；
（3）點(diǎn)N從點(diǎn)Q（12，0）出發(fā)，沿著x軸以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)O運(yùn)動，同時(shí)另一動點(diǎn)M從點(diǎn)B開始沿B-C-D-A的方向繞梯形ABCD運(yùn)動，運(yùn)動速度為每秒為2個單位長度，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，連結(jié)MO和MN，試探究當(dāng)t為何值時(shí)MO=MN．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AD∥BC，可得∠DEO=∠DCB=30°，設(shè)OF=x，則EF=2x，在Rt△EFO中，利用勾股定理可解出x，繼而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可確定EF的解析式，求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)后，可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，作點(diǎn)Q關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)，連接OQ'，則OQ'與CD的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置，易判斷△Q'QE是等邊三角形，從而根據(jù)△POQ的周長的周長=OQ+OQ'，即可求出答案．
（3）分三段討論，①點(diǎn)M在線段BC上，②點(diǎn)M在線段CD上，③點(diǎn)M在線段DA上，分別根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程，解出后結(jié)合實(shí)際判斷即可得出答案，一定要分清是點(diǎn)M還是點(diǎn)N先到達(dá)終點(diǎn)．

解答：解：（1）∵∠DCB=30°，
∴∠DEO=30°，
設(shè)OF=x，則EF=2x，
在Rt△EFO中，OF²+OE²=EF²，即x²+18²=（2x）²，
解得：x=6

3

，
∴OF=6

3

，則F（0，6

3

），
設(shè)直線l的解析式為y=ax+b（a≠0），經(jīng)過E（18，0）、F（0，6

3

）兩點(diǎn)，
則

18a+b=0 b=6 3

，
解得：

a=- 3 3 b=6 3

，
∴y=-

3

3

x+6

3

，
當(dāng)x=6時(shí)，y=4

3

；當(dāng)x=12時(shí)，y=2

3

，
∴A（0，4

3

），B（0，2

3

）．

（2）如圖：作點(diǎn)Q關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)，連接OQ'，則OQ'與CD的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置，

易證△Q'QE為等邊三角形，則Q'（15，3

3

），
∴L_OQ'：y=

3

5

x，
∴

y= 3 5 x y=- 3 3 x+6 3

，
解得：

x= 45 4 y= 9 3 4

，
∴P（

45

4

，

9 3

4

），
∴C△OPQ=12+

152+(3 3 )2

=12+6

7

．

（3）①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)0≤t≤6，BM=2t，OQ=12-t，

根據(jù)三線合一得：2（2t）=12-t，
解得：t=

12

5

s，
②當(dāng)點(diǎn)M在CD上時(shí)，

由于CD=4

3

，所以6＜t≤6+2

3

，而此時(shí)點(diǎn)N已經(jīng)向左運(yùn)動超過了點(diǎn)（6，0），
所以在CD上不可能存在點(diǎn)M．
③點(diǎn)M在DA上運(yùn)動時(shí)，6+2

3

＜t＜12，（注意，點(diǎn)N先到達(dá)終點(diǎn)，因而只能運(yùn)動12秒就停止了）．
AM=18+4

3

-2t，ON=12-t，

根據(jù)三線合一得：2（18+4

3

-2t）=12-t，
解得：t=

24+8 3

3

＞12s，所以在DA上不可能存在點(diǎn)M．
但當(dāng)t=12時(shí)MO=MN（此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合）．
綜上可得：t=

12

5

s或t=12s時(shí)MO=MN．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)及軸對稱求最短路徑的知識，解答本題需要同學(xué)們具有扎實(shí)的基本功，注意數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的運(yùn)用，難度較大．