在直角坐標(biāo)系中,點A(5,0)關(guān)于原點O的對稱點為點C.
(1)請直接寫出點C的坐標(biāo);
(2)若點B在第一象限內(nèi),∠OAB=∠OBA,并且點B關(guān)于原點O的對稱點為點D.
①試判斷四邊形ABCD的形狀,并說明理由;
②現(xiàn)有一動點P從B點出發(fā),沿路線BA-AD以每秒1個單位長的速度向終點D運動,另一動點Q從A點同時出發(fā),沿AC方向以每秒0.4個單位長的速度向終點C運動,當(dāng)其中一個動點到達(dá)終點時,另一個動點也隨之停止運動.已知AB=6,設(shè)點P、Q的運動時間為t秒,在運動過程中,當(dāng)動點Q在以PA為直徑的圓上時,試求t的值?

【答案】分析:(1)平面內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個點的坐標(biāo):橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù);
(2)①首先能夠根據(jù)題意正確畫出圖形,然后發(fā)現(xiàn)可利用對角線的性質(zhì)來判斷所給四邊形的形狀;
②動點Q在以PA為直徑的圓上時,∠PQA=90°,注意分情況進(jìn)行分析.
解答:解:(1)根據(jù)題意,得C(-5,0);

(2)①四邊形ABCD為矩形,理由如下:
如圖,由已知可得:A、O、C在同一直線上,且OA=OC;
B、O、D在同一直線上,且OB=OD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵∠OAB=∠OBA,
∴OA=OB,即AC=2OA=2OB=BD.
∴四邊形ABCD是矩形.

②如圖,由①得四邊形ABCD是矩形.
∴∠CBA=∠ADC=90°.
又AB=CD=6,AC=10,
∴由勾股定理,得
BC=AD==8.
,∴0≤t≤14.
當(dāng)0≤t≤6時,P點在AB上,連接PQ.
∵AP是直徑,∴∠PQA=90°.
又∠PAQ=∠CAB,∴△PAQ∽△CAB
,即,解得t=3.6.
當(dāng)6<t≤14時,P點在AD上,連接PQ,
同理得∠PQA=90°,△PAQ∽△CAD
,即,解得t=12.
綜上所述,當(dāng)動點Q在以PA為直徑的圓上時,t的值為3.6或12.
點評:本題用到的知識點為:①兩個點關(guān)于原點對稱,它們的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù);
②對角線相等且互相平分的四邊形是矩形;
③直徑所對的圓周角是90°.
練習(xí)冊系列答案
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(1)當(dāng)點B坐標(biāo)為(1,0)時,求點C的坐標(biāo);
(2)如果sinA和cosA是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b=0的兩個實數(shù)根,過原點O作OD⊥AC,垂足為D,且點D的縱坐標(biāo)為a2,求b的值.

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