Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），過(guò)點(diǎn)P做x軸的垂線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，交直線(xiàn)BD于點(diǎn)M．

（1）求該拋物線(xiàn)所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)F（0，），當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求m為何值時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形？

（3）點(diǎn)P在線(xiàn)段AB運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）m=﹣1或m=3時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）或（﹣1，0）時(shí)，以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似．

【解析】

（1）待定系數(shù)法求解可得；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BD解析式為y=x-2，則Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），由QM∥DF且四邊形DMQF是平行四邊形知QM=DF，據(jù)此列出關(guān)于m的方程，解之可得；
（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得，再證△MBQ∽△BPQ得，即，解之即可得此時(shí)m的值；②∠BQM=90°，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△BOD∽△BQM′，易得點(diǎn)Q坐標(biāo)．

（1）由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）可設(shè)解析式為y=a（x+1）（x-4），
將點(diǎn)C（0，2）代入，得：-4a=2，
解得：a=-，
則拋物線(xiàn)解析式為y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2；
（2）由題意知點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-2），
設(shè)直線(xiàn)BD解析式為y=kx+b，
將B（4，0）、D（0，-2）代入，得：

，解得：，
∴直線(xiàn)BD解析式為y=x-2，
∵QM⊥x軸，P（m，0），
∴Q（m，--m2+m+2）、M（m，m-2），
則QM=-m2+m+2-（m-2）=-m2+m+4，
∵F（0，）、D（0，-2），
∴DF=，
∵QM∥DF，
∴當(dāng)-m2+m+4=時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形，
解得：m=-1（舍）或m=3，
即m=3時(shí)，四邊形DMQF是平行四邊形；
（3）如圖所示：

∵QM∥DF，
∴∠ODB=∠QMB，
分以下兩種情況：
①當(dāng)∠DOB=∠MBQ=90°時(shí)，△DOB∽△MBQ，
則，
∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，
∵∠MPB=∠BPQ=90°，
∴∠MBP+∠BMP=90°，
∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴，即，
解得：m1=3、m2=4，
當(dāng)m=4時(shí)，點(diǎn)P、Q、M均與點(diǎn)B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，
∴m=3，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）；
②當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△BOD∽△BQM′，
此時(shí)m=-1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，0）；
綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）或（-1，0）時(shí)，以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似．