Question

如圖．拋物線y=-x²-2x+3與x軸相交于點A和點B，與y軸交于點C．
（1）求點A、點B和點C的坐標．
（2）求直線AC的解析式．
（3）設(shè)點M是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，且S_△MAB=6，求點M的坐標．
（4）若點P在線段BA上以每秒1個單位長度的速度從 B 向A運動（不與B，A重合），同時，點Q在射線AC上以每秒2個單位長度的速度從A向C運動．設(shè)運動的時間為t秒，請求出△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出當t為何值時，△APQ的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

分析：（1）令y=0求得拋物線與橫軸的交點坐標，令x=0求得圖象與y軸的交點坐標即可．
（2）利用已知的兩點的坐標根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式即可．
（3）設(shè)出點M的坐標為（x，-x²-2x+3），然后表示出其面積

1

2

(-x2-2x+3)×4=6，解得即可．
（4）由題意，得AB=4，PA=4-t，根據(jù)AO=3，CO=3，得到△AOC是等腰直角三角形，然后根據(jù)AQ=2t，求得Q點的縱坐標為

2

t，最后求出S與t的函數(shù)關(guān)系式后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值．

解答：解：（1）令-x²-2x+3=0，（x+3）（x-1）=0，x₁=-3，x₂=1，
A（-3，0）B．（1，0），C（0，3）；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
由題意，得

-3k+b=0 b=3

，
解之得

k=1 b=3

，
故y=x+3；

（3）設(shè)M點的坐標為（x，-x²-2x+3），
AB=4，因為M在第二象限，所以-x²-2x+3＞0，
所以

1

2

(-x2-2x+3)×4=6，
解之，得x₁=0，x₂=-2，
當x=0時，y=3，（不合題意）
當x=-2時，y=3．
所以M點的坐標為（-2，3）；

（4）由題意，得AB=4，PA=4-t，
∵AO=3，CO=3，
∴△AOC是等腰直角三角形，AQ=2t，
所以Q點的縱坐標為

2

t，
S=

1

2

×

2

t×(4-t)=-

2

2

t2+2

2

t（0＜t＜4）
∵S=-

2

2

(t2-4t+4-4)=-

2

2

(t-2)2+2

2

，
∴當t=2時，△APQ最大，最大面積是2

2

．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．