Question

2．如圖△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過點(diǎn)A的⊙O分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，且AD=AE，連接CD交⊙O于F，連接AF交BC于G．
（1）求證：CD=$\sqrt{2}$AG；
（2）連接EF并延長(zhǎng)交BC于M，過A作AH⊥CD于H，延長(zhǎng)AH交BC于N，求證：BN=MN；
（3）在（2）的條件下，若FG=$\frac{2}{3}$AF，⊙O的半徑為$\sqrt{2}$，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AH⊥CD于H，交BC于N，過點(diǎn)G作GP⊥AG交AN的延長(zhǎng)線于P，連接PB、PG．由△ANB∽△GNB，推出$\frac{BN}{PN}$=$\frac{AN}{GN}$，由此$\frac{BN}{AN}$=$\frac{PN}{GN}$，由∠BNP=∠ANG，推出△BNP∽△ANG，推出∠PBN=∠NAG=45°，由△ABP≌△CAD，推出AP=CD，由AP=$\sqrt{2}$AG，即可推出CD=$\sqrt{2}$AG．
（2）如圖2中，在圖1的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)BP交EM的延長(zhǎng)線于K．由△ABP≌△CAD，推出BP=AD=AE，只要證明四邊形APKE是平行四邊形，即可推出AE=PK=PB，由PN∥KM，推出$\frac{PB}{PK}$=$\frac{BN}{MN}$=1，即可推出BN=NM．
（3）如圖3中，設(shè)AF=3a，F(xiàn)G=2a，則AG=PG=5a，AP=CD=5$\sqrt{2}$a，AH=HF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，由△ABP∽△CHA，得$\frac{PB}{AP}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AB}{CH}$，推出$\frac{2}{5\sqrt{2}a}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{（5\sqrt{2}a）^{2}-{2}^{2}}}$，CH=$\frac{（5\sqrt{2}a）^{2}-{2}^{2}}{\frac{3}{2}\sqrt{2}a}$，整理得225a⁴-200a²+16=0，解得a=$\sqrt{\frac{4}{45}}$或$\sqrt{\frac{4}{5}}$，推出CF=CH-FH=$\frac{（5\sqrt{2}a）^{2}-{2}^{2}}{\frac{3}{2}\sqrt{2}a}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$a=$\frac{91{a}^{2}-8}{3\sqrt{2}a}$，把a(bǔ)=$\sqrt{\frac{4}{45}}$或$\sqrt{\frac{4}{5}}$代入即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，作AH⊥CD于H，交BC于N，過點(diǎn)G作GP⊥AG交AN的延長(zhǎng)線于P，連接PB、PG．

∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=∠AFH=45°，
∵AH⊥CD，
∴∠AHF=90°，
∴∠HAF=45°=∠APG，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABN=∠GPN，∵∠ANB=∠PNG，
∴△ANB∽△GNB，
∴$\frac{BN}{PN}$=$\frac{AN}{GN}$，
∴$\frac{BN}{AN}$=$\frac{PN}{GN}$，∵∠BNP=∠ANG，
∴△BNP∽△ANG，
∴∠PBN=∠NAG=45°，
∴∠ABP=90°=∠CAD，
∵∠BAP+∠CAH=90°，∠CAH+∠ACD=90°，
∴∠BAP=∠ACD，∵AB=AC，
∴△ABP≌△CAD，
∴AP=CD，
∵AP=$\sqrt{2}$AG，
∴CD=$\sqrt{2}$AG．

（2）證明：如圖2中，在圖1的基礎(chǔ)上，延長(zhǎng)BP交EM的延長(zhǎng)線于K．

由（1）可知△ABP≌△CAD，
∴BP=AD=AE，
∵∠KBA+∠BAC=180°，
∴AE∥BK，
∵∠DAE=90°，
∴DE是直徑，
∴∠DFE=90°，
∴∠AHF+∠DFE=180°，
∴AP∥EK，
∴四邊形APKE是平行四邊形，
∴AE=PK=PB，
∵PN∥KM，
∴$\frac{PB}{PK}$=$\frac{BN}{MN}$=1，
∴BN=NM．

（3）解：如圖3中，設(shè)AF=3a，F(xiàn)G=2a，則AG=PG=5a，AP=CD=5$\sqrt{2}$a，AH=HF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，

由（2）可知，∵DE=2$\sqrt{2}$，
∴AD=AE=PB=2，
在Rt△ABP中，AB=AC=$\sqrt{（5\sqrt{2}a）^{2}-{2}^{2}}$，
∵∠BAP=∠ACH，∠ABP=∠AHC，
∴△ABP∽△CHA，
∴$\frac{PB}{AP}$=$\frac{AH}{AC}$=$\frac{AB}{CH}$，
∴$\frac{2}{5\sqrt{2}a}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{（5\sqrt{2}a）^{2}-{2}^{2}}}$，CH=$\frac{（5\sqrt{2}a）^{2}-{2}^{2}}{\frac{3}{2}\sqrt{2}a}$，
整理得225a⁴-200a²+16=0，
∴（45a²-4）（5a²-4）=0，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{\frac{4}{45}}$或$\sqrt{\frac{4}{5}}$，
∴CF=CH-FH=$\frac{（5\sqrt{2}a）^{2}-{2}^{2}}{\frac{3}{2}\sqrt{2}a}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$a=$\frac{91{a}^{2}-8}{3\sqrt{2}a}$，
∴把a(bǔ)=$\sqrt{\frac{4}{45}}$或$\sqrt{\frac{4}{5}}$代入得CF=$\frac{2}{45}$$\sqrt{2}$或$\frac{81\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程，本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中考?jí)狠S題．