Question

矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，其中OA=5，AB=2，拋物線y=-x²+3x的圖象與BC交于D、E兩點(diǎn)．
（1）求DE的長(zhǎng)______；
（2）M是BC上的動(dòng)點(diǎn)，若OM⊥AM，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以D、O、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過圖示不難看出點(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)為2，代入拋物線的解析式中，線求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出DE的長(zhǎng)．
（2）在矩形OABC中，若OM⊥AM，那么不難看出Rt△OCM∽R(shí)t△BAM，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)表示出CM、BM的長(zhǎng)，由相似三角形得到的比例線段即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）D、M都在直線BC上，那么可以分兩種情況討論：
①DM為平行四邊形的對(duì)角線，那么點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)必為4（此時(shí)，點(diǎn)O、Q關(guān)于DE的中點(diǎn)對(duì)稱），顯然這個(gè)點(diǎn)Q不可能在拋物線的圖象上，這種情況不予考慮；
②DM為邊；這種情況又可以分為兩種：DQ、MO平行且相等；DO、MQ平行且相等．前者的點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸上，顯然點(diǎn)Q不在拋物線對(duì)稱軸上，那么只考慮后一種情況：
此時(shí)DM與OQ平行且相等，那么點(diǎn)Q在x軸正半軸上，且DM=OQ，可據(jù)此先得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再代入拋物線中進(jìn)行驗(yàn)證即可．
解答：解：（1）由圖知：點(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)為2，依題意，有：
-x²+3x=2，解得：x₁=1、x₂=2
∴D（1，2）、E（2，2），DE=1．

（2）如右圖；
矩形OABC中，∠OMA=90°，
∴∠CMO=∠MAB=90°-∠AMB，又∠OCM=∠MBA=90°，
∴△OCM∽△MBA，有：=
設(shè)點(diǎn)M（m，2），則：CM=m，BM=5-m
∴=，解得 m₁=1，m₂=4
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或（4，2）．

（3）若以D、O、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么點(diǎn)D、M不共點(diǎn)，所以點(diǎn)M�。�4，2）；
①當(dāng)DM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)O、Q關(guān)于DM的中點(diǎn)對(duì)稱，即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為4，由圖知，點(diǎn)Q必不在拋物線圖象上，不合題意；
②當(dāng)DM為平行四邊形的邊時(shí)，OM∥OQ，且OM=OQ；
∵D（1，2）、M（4，2）
∴OQ=DM=3，即 Q（-3，0）或（3，0）；
經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)（-3，0）不在拋物線圖象上；
點(diǎn)（3，0）在拋物線圖象上；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)Q，且坐標(biāo)為（3，0）．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合考查；主要涉及了矩形的性質(zhì)、相似三角形與平行四邊形的判定和性質(zhì)．最后一題中，在平行四邊形的頂點(diǎn)排序不明確的情況下，一定要進(jìn)行分類討論．