Question

已知，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A的坐標(biāo)（4，0），C的坐標(biāo)（0，-2），直線y=-

2

3

x與邊BC相交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、D、O，求此拋物線的表達(dá)式；
（3）在這個(gè)拋物線上是否存在點(diǎn)M，使O、D、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于BC∥x軸，那么B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，已知了點(diǎn)C的坐標(biāo)，將其縱坐標(biāo)代入直線OD的解析式中，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）已知拋物線圖象上的A、O、D三點(diǎn)坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求得該拋物線的解析式；
（3）此題應(yīng)分作三種情況考慮：
①所求的梯形以O(shè)A為底，那么OA∥DM，由于拋物線是軸對(duì)稱圖形，那么D點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)一定滿足M點(diǎn)的要求，由此可得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
②所求的梯形以O(shè)D為底，那么OD∥AM，所以直線AM、直線OD的斜率相同，已知點(diǎn)AD的坐標(biāo)，即可確定直線AM的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
③所求的梯形以AD為底，那么AD∥OM，參照②的解題思路，可先求出直線AD的解析式，進(jìn)而確定直線OM的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵D在BC上，BC∥x軸，C（0，-2），
∴設(shè)D（x，-2）（1分）
∵D在直線y=-

2

3

x上，
∴-2=-

2

3

x，x=3，（3分）
∴D（3，-2）；（4分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、D、O；
∴

16a+4b+c=0 c=0 9a+3b+c=-2

，
解得：

a= 2 3 b=- 8 3 c=0

；（7分）
故所求的二次函數(shù)解析式為y=

2

3

x2-

8

3

x；（8分）

（3）假設(shè)存在點(diǎn)M，使O、D、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形；
①若以O(shè)A為底，BC∥x軸，拋物線是軸對(duì)稱圖形，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-2）；（9分）
②若以O(shè)D為底，過點(diǎn)A作OD的平行線交拋物線為點(diǎn)M，
∵直線OD為y=-

2

3

x，
∴直線AM為y=-

2

3

x+

8

3

；
∴-

2

3

x+

8

3

=

2

3

x2-

8

3

x
解得：x₁=-1，x₂=4，（舍去）
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，

10

3

）；（11分）
③若以AD為底，過點(diǎn)O作AD的平行線交拋物線為點(diǎn)M，
∵直線AD為y=2x-8，
∴直線OM為y=2x，
∴2x=

2

3

x2-

8

3

x，
解得：x₁=7，x₂=0（舍去）；
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（7，14）．（12分）
∴綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-2）、（-1，

10

3

）、（7，14）時(shí)，以O(shè)、D、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)．同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．