Question

在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針在何時(shí)
（1）成120°（圖）；
（2）成90°（圖）．

Answer 1

分析：（1）在4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針恰成120°．由于所問(wèn)的時(shí)間是介于4點(diǎn)到5點(diǎn)之間，因此，這個(gè)時(shí)間不能計(jì)入．從4點(diǎn)開(kāi)始，分針與時(shí)針之間的角度先逐步減少，直至兩針重合（夾角為0°）．之后，分針“超過(guò)”時(shí)針，兩針之間的夾角又逐漸增大（此時(shí)，分針在時(shí)針的前面）．直到兩針夾角又一次成為120°，這個(gè)時(shí)間正是我們所要求的．
（2）由于在整4點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針夾角為120°，因此，在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成90°有兩種情況：（i）時(shí)針在分針之前；（ii）時(shí)針在分針之后．

解答：解：（1）設(shè)時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)a角后，時(shí)針與分針（分針在時(shí)鐘前）成120°，則
12a=120+a+120，
a=21

9

11

．
由于時(shí)針每轉(zhuǎn)過(guò)30°（如從指向數(shù)字4轉(zhuǎn)到指向數(shù)字5）相當(dāng)于1小時(shí)（60分鐘），
21

9

11

×2=43

7

11

分鐘．
故在4點(diǎn)43

7

11

分時(shí)，時(shí)針與分針成120°；

（2）如圖（a），（b）所示．
由于在整4點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針夾角為120°，因此，在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成90°有兩種情況：
（i）時(shí)針在分針之前（如圖（a））．設(shè)時(shí)針轉(zhuǎn)了a度，分針轉(zhuǎn)了12a度，有
120°+α=90°+12α，
所以11α=30°，
a=

30

11

．
用時(shí)

30

11

×2=5

5

11

分鐘．
（ii）時(shí)針在分針之后（如圖（b）），此時(shí)，有關(guān)系
12α-α=120°+90°，
11α=210°，
a=

210

11

．
用時(shí)

210

11

×2=38

2

11

分鐘．
故在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，在4點(diǎn)5

5

11

分與4點(diǎn)38

2

11

分時(shí)，時(shí)針與分針成90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查鐘表時(shí)針與分針的夾角．在鐘表問(wèn)題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)1°時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（

1

12

）°，并且利用起點(diǎn)時(shí)間時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形．轉(zhuǎn)化為方程解決．說(shuō)由于時(shí)針與分針?biāo)�成角依時(shí)針與分針的“前”“后”次序有兩種情況，因此，求兩針夾角情況會(huì)出現(xiàn)一解或兩解．