Question

已知△ABC中，AB=AC，D、E是BC邊上的點，將△ABD繞點A旋轉，得到△ACD′，連結D′E．
（1）如圖1，當∠BAC=120°，∠DAE=60°時，求證：DE=D′E；
（2）如圖2，當DE=D′E時，∠DAE與∠BAC有怎樣的數量關系？請寫出，并說明理由．
（3）如圖3，在（2）的結論下，當∠BAC=90°，BD與DE滿足怎樣的數量關系時，△D′EC是等腰直角三角形？（直接寫出結論，不必說明理由）

Answer 1

（1）證明：∵△ABD繞點A旋轉得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠CAD′=∠BAD，
∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，
∴∠D′AE=∠CAD′+∠CAE，
=∠BAD+∠CAE，
=∠BAC-∠DAE，
=120°-60°，
=60°，
∴∠DAE=∠D′AE，
在△ADE和△AD′E中，
，
∴△ADE≌△AD′E（SAS），
∴DE=D′E；

（2）解：∠DAE=∠BAC．
理由如下：在△ADE和△AD′E中，
，
∴△ADE≌△AD′E（SSS），
∴∠DAE=∠D′AE，
∴∠BAD+∠CAE=∠CAD′+∠CAE=∠D′AE=∠DAE，
∴∠DAE=∠BAC；

（3）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠ACD′=45°，
∴∠D′CE=45°+45°=90°，
∵△D′EC是等腰直角三角形，
∴D′E=CD′，
由（2）DE=D′E，
∵△ABD繞點A旋轉得到△ACD′，
∴BD=C′D，
∴DE=BD．
分析：（1）根據旋轉的性質可得AD=AD′，∠CAD′=∠BAD，然后求出∠D′AE=60°，從而得到∠DAE=∠D′AE，再利用“邊角邊”證明△ADE和△AD′E全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）根據旋轉的性質可得AD=AD′，再利用“邊邊邊”證明△ADE和△AD′E全等，然后根據全等三角形對應角相等求出∠DAE=∠D′AE，然后求出∠BAD+∠CAE=∠DAE，從而得解；
（3）求出∠D′CE=90°，然后根據等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍可得D′E=CD′，再根據旋轉的性質解答即可．
點評：本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，熟記旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小找出三角形全等的條件是解題的關鍵．