Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結論中一定成立的是_____（把所有正確結論的序號部填在橫線上）．①∠AEF＝∠DFE；②S△BEC＝2S△CEF；③EF＝CF；④∠BCD＝2∠DCF．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

延長EF，交CD延長線于M，根據題意通過“角邊角”證明△AEF≌△DMF，得到EF＝MF，∠AEF＝∠M，在Rt△CEM中根據斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CF＝EM＝EF，故③正確；易得S△EFC＝S△CFM，因為MC＞BE，所以S△BEC≤2S△EFC故②錯誤；設∠FEC＝x，則∠FCE＝x，整理可得∠EFD＝270°﹣3x，而∠AEF＝90°﹣x，故可得①正確；根據平行四邊形與平行線的性質可證④正確.

解：延長EF，交CD延長線于M，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A＝∠MDF，

∵F為AD中點，

∴AF＝FD，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴EF＝MF，∠AEF＝∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠ECD＝90°，

∵FM＝EF，

∴CF＝EM＝EF，故③正確；

∵EF＝FM，

∴S△EFC＝S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC≤2S△EFC

故②S△BEC＝2S△CEF錯誤；

設∠FEC＝x，則∠FCE＝x，

∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，

∴∠EFC＝180°﹣2x，

∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，

∵∠AEF＝90°﹣x，

∴∠DFE＝3∠AEF，

∴∠AEF＝∠DFE，①正確；

∵F是AD的中點，

∴AF＝FD，

∵在ABCD中，AD＝2AB，

∴AF＝FD＝CD，

∴∠DFC＝∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC＝∠FCB，

∴∠DCF＝∠BCF，

∴2∠DCF＝∠BCD，④正確.

故答案為：①③④．