Question

19．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=AF，設(shè)△AEF的面積為y，EC的長(zhǎng)為x．
（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積是多少？
（3）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y關(guān)于x的函數(shù)的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD，再利用“HL”證明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DF，然后求出CE=CF，再根據(jù)△AEF的面積等于正方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積列式整理即可得解；
（2）結(jié)合（1）中二次函數(shù)解析式和x的取值范圍來(lái)求△AEF的面積的最大值；
（3）利用（1）中二次函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)圖象，注意x的取值范圍．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，AB=AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，
∵CE=x，
∴BE=DF=4-x，
∴y=4²-2×$\frac{1}{2}$×4×（4-x）-$\frac{1}{2}$x²，
=-$\frac{1}{2}$x²+4x，
即y=-$\frac{1}{2}$x²+4x．
∵E、F分別是BC、CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，且保證A、E、F能構(gòu)成三角形，
∴x的取值范圍是：0≤x≤4；

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+4x=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8，0＜x≤4，
∴當(dāng)x=4時(shí)，△AEF的面積最大，最大面積是8；

（3）如圖所示，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形綜合題，涉及到了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積以及二次函數(shù)最值的求法和二次函數(shù)圖象，熟記性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．