Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于點，與軸交于點，在軸上有一動點，過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點，過點作于點．

（1）求的值和直線的函數表達式；

（2）設的周長為，的周長為，若，求的值；

（3）如圖2，在（2）條件下，將線段繞點逆時針旋轉得到，旋轉角為，連接、，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）令y=0，求出拋物線與x軸交點，列出方程即可求出a，根據待定系數法可以確定直線AB解析式；

（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解決問題．
（3）在y軸上 取一點M使得OM′=，構造相似三角形，可以證明AM′就是的最小值．

解：（1）令，則，

，

或，

拋物線與軸交于點，

，

．

，，

設直線解析式為，則，

解得，

直線解析式為；

（2）如圖1中，

，，

，

，

，

，

，

，

，

拋物線解析式為，

，

，

解得；

（3）如圖2中，在軸上 取一點使得，連接，在上取一點使得．

，，

，

，

，

△△，

，

，

，

此時最小（兩點間線段最短，、、共線時），

最小值．