Question

如圖，點A在雙曲線上，且OA=4，過點A作x軸的垂線，與x軸交于點C，OA的垂直平分線交OC于點B，則△ABC的周長為    ．

Answer 1

【答案】分析：可以設(shè)A的坐標(biāo)是（m，n）．根據(jù)B在AB的垂直平分線上，據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到：AB=OB，則求△ABC的周長即為求m+n的問題．點A在雙曲線上得到：mn=6，根據(jù)OA=4，根據(jù)勾股定理即可得到m²+n²=16．根據(jù)完全平方公式即可求解．
解答：解：設(shè)A的坐標(biāo)是（m，n）．則mn=6．
則AC=n，OC=m．
在直角△ACO中，根據(jù)勾股定理可得：m²+n²=16；
∵B在AB的垂直平分線上．
∴AB=OB
∴△ABC的周長=AC+BC+AB=OB+BC+AC=OC+AC=m+n
又∵（m+n）²=m²+n²+2mn=16+2×6=28
∴△ABC的周長=m+n==2．
故答案為：2．
點評：本題運用了線段的垂直平分線的性質(zhì)，把求三角形的周長的問題轉(zhuǎn)化為求兩條線段的長的問題，正確利用完全平方公式的變形，是解決本題的關(guān)鍵．