Question

如圖，矩形OABC的邊OA、OC都在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)在線段OA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在對(duì)角線AC上，且AD=2，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）請(qǐng)寫出△APD的面積S關(guān)于t 的函數(shù)關(guān)系式______，此時(shí)t的取值范圍是______．
（2）若在動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，有一動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止，請(qǐng)問(wèn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，CP⊥PQ？
（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以A、D、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值和對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA，交OA于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)B（4，3），四邊形ABCD是矩形，
∴OA=BC=4，AB=OC=3，
∴點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)C（0，3），
∴AC===5，
∵DE⊥OA，
∴DE∥OC，
∴=，
∵AD=2，
∴=，
解得DE=，
∵P的速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴OP=2t，
∴AP=OA-OP=4-2t，
∴S_△APD=AP•DE=×（4-2t）×=-t+，
∵AC=4，
∴AC=2，
∴t的取值范圍是0≤t≤2；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥OA于點(diǎn)F，
∵CP⊥PQ，
∴∠CPQ=90°，
∴∠QPA+∠CPO=90°，
∵∠CPO+∠OCP=90°，
∴∠QPA=∠OCP，
∴△COP∽△PQF，
∴=，
∵Q的速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴AQ=t，
∴QF=AQ•sin∠OAC=t•=t，
AF=AQ•cos∠OAC=t•=t，
∴PF=OA-OP-AF=4-2t-t=4-t，
故=，
解得t=，
當(dāng)t=秒時(shí)，CP⊥PQ；


（3）存在三種情況，使△PDA為等腰三角形．
①AD=AP時(shí)，∵AD=2，AD=AP，
∴AP=2，
∴OP=OA-AP=4-2=2，
∴==1（秒），
∴當(dāng)t=1秒時(shí)，△PDA是等腰三角形；
②AD=PD時(shí)，底邊為AP，
∵AD=PD，DE⊥OA，
∴AE=PE，
∵DE∥OC，
∴=，
∴=，
解得AE=，
∴AP=2AE=，
∴OP=OA-AP=4-=，
∴OP=×=，
即當(dāng)t=秒時(shí)，△PDA是等腰三角形；
③AP=PD時(shí)，底邊為AD，
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD，
∵AP=PD，
∴AF=DF=AD=×2=1，
∵EF⊥AD，∠CAO=∠DAE，
∴△APF∽△ACO，
∴=，
∴=，
解得AP=，
∴OP=OA-AP=4-=，
∴OP=×=，
即當(dāng)t=秒時(shí)，△PDA是等腰三角形．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥OA，然后根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行，利用對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出DE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)三角形的面積公式列式即可得解，再根據(jù)路程、速度與時(shí)間的關(guān)系求t的取值范圍；
（2）過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥OA于點(diǎn)F，然后判定△COP和△PQF相似，利用∠OAC的正弦求出QF的長(zhǎng)度，再表示出PF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式計(jì)算即可求出t的值；
（3）因?yàn)榈妊�三角形的腰不明確，所以分①AD=AP時(shí)，②AD=PD時(shí)，底邊為AP，③AP=PD時(shí)，底邊為AD，然后分別列式進(jìn)行計(jì)算求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積以及等腰三角形的判定，綜合性較強(qiáng)，難度較大，需要仔細(xì)分析并細(xì)心進(jìn)行計(jì)算，（3）中要注意分情況進(jìn)行討論．