Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在CA的延長(zhǎng)線上，∠CAD＝45°．

(1)若AB＝4，求的長(zhǎng)；

(2)若＝，AD＝AP，求證：PD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）連接OC，OD，由圓周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，可得∠COD=90°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到結(jié)論；

（2）由已知條件得到∠BOC=∠AOD，由圓周角定理得到∠AOD=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODA=∠OAD=67.5°，利用角和角的關(guān)系，求得ADP=∠CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到結(jié)論．

解：

（1）連接OC，OD，

∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°，

∴∠COD＝90°，

∵AB＝4，

∴OC＝AB＝2，

∴的長(zhǎng)＝×π×2＝π；

（2）∵＝，

∴∠BOC＝∠AOD，

∵∠COD＝90°，

∴∠AOD＝45°，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，

∴∠ODA＝67.5°，

∵AD＝AP，

∴∠ADP＝∠APD，

∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°，

∴∠ADP＝∠CAD＝22.5°，

∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°，

∴PD是⊙O的切線．