Question

在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．
（1）如圖①，當(dāng)∠A為銳角時(shí)，連接BE，試判斷∠BAC與∠CBE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）圖①中的邊AB不動(dòng)，邊AC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，如圖②，CA的延長(zhǎng)線與⊙O相交于點(diǎn)E，請(qǐng)問(wèn)：∠BAC與∠CBE的關(guān)系是否與（1）中你得出的關(guān)系相同？若相同，請(qǐng)加以證明；若不同，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得AD⊥BC，又由AB=AC，根據(jù)等腰三角形的三線合一，得AD平分∠BAC，結(jié)合圓周角定理，即可得∠BAC=2∠CBE；
（2）連接AD．根據(jù)等腰三角形的三線合一和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可證明∠BAC=2∠CBE．
解答：解：（1）∠BAC與∠CBE的關(guān)系是：∠BAC=2∠CBE．
理由如下：連接AD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC．
又∵∠CAD=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．

（2）相同．
理由如下：連接AD．
∵AB為直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵∠CAD+∠DAE=180°，∠CBE+∠DAE=180°，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠BAC=2∠CBE．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．