Question

【題目】如圖，已知：AD是△ABC的角平分線，DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F，

（1）求證：四邊形AEDF是菱形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF是正方形？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解.

【解析】

（1）根據DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，可以判斷四邊形AEDF是平行四邊形，再根據角平分線的性質和平行線的性質即可證明結論成立；

（2）根據有一個角是直角的菱形是正方形可以解答本題．

（1）證明：∵DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD=∠ADF，

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠EAD=∠FAD，

∴∠ADF=∠FAD，

∴FA=FD，

∴四邊形AEDF是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；

（2）解：當△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，時，四邊形AEDF是正方形，

理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，

由（1）知四邊形AEDF是菱形，

∴四邊形AEDF是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）．