Question

【題目】問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=CB=DB，DB⊥AC．

①直接寫出∠ADC的大小；

②求證：AB2+BC2=AC2．

遷移應(yīng)用：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=BC=CD=DA=2，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F，連接CE、CF．

①求證：△CEF是等邊三角形；

②若∠BAF=45°，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】問題背景①∠ADC=135°；②證明見解析；遷移應(yīng)用：①證明見解析；②BF=．

【解析】

問題背景①利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題．

②利用面積法解決問題即可．

遷移應(yīng)用①如圖2中，連BD，BE，DE．證明EF＝FC，∠CEF＝60即可解決問題．

②過B作BH⊥AE于H，設(shè)BH＝AH＝EH＝x，利用面積法求解即可．

問題背景①∵BC=BD=BA，BD⊥AC，

∴∠CBD=∠ABD∠ABC=45°，

∴∠BCD=∠BDC(180°﹣45°)=67.5°，∠BDA=∠BAD=67.5°，

∴∠ADC=∠BDC+∠BDA=135°．

②如圖1中，

設(shè)AB=BC=a，

∴S△ABC

∵BE⊥AC，∠BCA=∠BAC=45°，

∴BE=AE=CE

∵S△ABC，

∴a2AC2

2a2=AC2，

∴AB2+BC2=AC2

遷移應(yīng)用：①證明：如圖2中，連BD，BE，DE．

∵AD=AB=BC=CD=2，

∴△ABD≌△BCD(SSS)，

∴∠BAD=∠BCD

∵∠BAD=60°，

∴△ABD和△CBD為等邊三角形

∵C沿BM對(duì)稱得E點(diǎn)，

∴BM垂直平分CE，

∴設(shè)∠CBF=∠EBF=α，EF=CF，

∴∠BEC=90°﹣α，

∴∠ABE=120°﹣2α，

∴∠BAE=∠BEA=30°+α，

∴∠AEC=120°，

∴∠CEF=60°，

∴△CEF為等邊三角形

②解：易知∠BFH=30°

當(dāng)∠BAF=45°時(shí)，

△ABE為等腰直角三角形

過B作BH⊥AE于H，

∴設(shè)BH=AH=EH=x，

∴S△ABE2xx=x2

S△ABE2x=2，

∴x2=2，即x

∵BF=2BH，

∴BF=2．