Question

設(shè)x₁、x₂是關(guān)于x的方程x²-（k+2）x+2k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且

x

2 1

+

x

2 2

=11．
（1）求k的值；
（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求作一個(gè)一元二次方程，使它的一個(gè)根是原方程兩個(gè)根的和，另一根是原方程兩根差的平方．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,根的判別式

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)根的判別式得到△=（k+2）²-4（2k+1）≥0，然后解不等式即可，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=k+2，x₁x₂=2k+1，變形

x

2 1

+

x

2 2

=11得到（x₁+x₂）²-2x₁x₂=11，所以（k+2）²-2（2k+1）=11，解得k₁=3，k₂=-3，則滿足條件的k的值為-3；
（2）把k=-3代入原方程可得x₁+x₂=-1，x₁x₂=-5，再計(jì)算（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1+20=21，然后以-1和21為根寫一個(gè)元二次方程即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得△=（k+2）²-4（2k+1）≥0，
解得k≥4或k≤0，
∵x₁+x₂=k+2，x₁x₂=2k+1，∵

x

2 1

+

x

2 2

=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=11，
∴（k+2）²-2（2k+1）=11，
解得k₁=3，k₂=-3，
∵k≥4或k≤0，
∴k=-3；

（2）∵k=-3，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=-5，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1+20=21，
∴所求的新方程為y²-（-1+21）y-1×21=0，即y²-20y-21=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．