精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(1,0),直線y=x+b與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中點A的坐標為(3,4),點B在y軸上.點P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),過點P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象交于點E.
(1)求b的值及這個二次函數(shù)的關系式;
(2)設線段PE的長為h,點P的橫坐標為x,求h與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)若點D為直線AB與該二次函數(shù)的圖象對稱軸的交點,則四邊形DCEP能否構成平行四邊形?如果能,請求出此時P點的坐標;如果不能,請說明理由.
(4)以PE為直徑的圓能否與y軸相切?如果能,請求出點P的坐標;如果不能,請說明理由.
分析:(1)可用頂點式二次函數(shù)通式設出二次函數(shù)的解析式,然后將A點的坐標代入其中,即可求出拋物線的解析式和b的值.
(2)PE的長實際是直線AB的解析式與拋物線的差.由此可得出h,x的函數(shù)關系式.
(3)先求出D點的坐標和CD的長,由于四邊形PDCE是平行四邊形,因此CD=PE,將CD的長代入(2)的函數(shù)關系式中,可得出一個關于x的方程,如果方程無解,則說明不存在這樣的P點,如果有解,那么求出的x就是P的橫坐標,進而可根據(jù)直線AB的解析式求出P點的坐標.
(4)假設存在這樣的P點,那么此時圓心到y(tǒng)軸的距離為
1
2
PE,即圓心的橫坐標(即P的橫坐標)為
1
2
h,然后代入(2)的函數(shù)式中即可求出P點的橫坐標,進而可求出符合條件的P點的坐標.
解答:解:(1)b=1
設拋物線的解析式為y=a(x-1)2把A(3,4)代入,
得a=1;
∴拋物線的解析式為y=(x-1)2
即y=x2-2x+1;

(2)h=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x(0<x<3);

(3)要使四邊形DCEP是平行四邊形,必須有PE=DC,
∵y=x+1經過點D,
∴D(1,2),
∴-x2+3x=2,
解得x=2或x=1,
∵當x=1時,y=2,
∴P(1,2)與D點重合,故舍去,
∴當點P的坐標為(2,3)時,四邊形DCEP是平行四邊形;

(4)設圓心坐標為(m,n),則m=
1
2
h時,該圓與y軸相切,
∵m=x,
∴得x=
-x2+3x
2
,
解得x=1,x=0(舍去),
∴點P的坐標為(1,2)時,以PE為直徑的圓能與y軸相切.
點評:本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定,平行四邊形的判定和性質,切線的判定等知識點.
考查學生數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(1,0),直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中A點的坐標為(3,4),B點在軸y上.
(1)求m的值及這個二次函數(shù)的關系式;
(2)P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E,設線段PE的長為h,點P的橫坐標為x,求h與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點,在線段AB上是否存在一點P,使得四邊形DCEP是平行四邊形?若存在,請求出此時P點的坐標;若不存在,請說明理由.

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(2012•高淳縣一模)如圖,已知二次函數(shù)y=-
1
2
x2+mx+3的圖象經過點A(-1,
9
2
).
(1)求該二次函數(shù)的表達式,并寫出該函數(shù)圖象的頂點坐標;
(2)點P(2a,a)(其中a>0),與點Q均在該函數(shù)的圖象上,且這兩點關于圖象的對稱軸對稱,求a的值及點Q到y(tǒng)軸的距離.

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(2013•江寧區(qū)二模)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象過點A(-1,0),對稱軸為過點(1,0)且與y軸平行的直線.
(1)求該二次函數(shù)的關系式;
(2)結合圖象,解答下列問題:
①當x取什么值時,該函數(shù)的圖象在x軸上方?
②當-1<x<2時,求函數(shù)y的取值范圍.

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如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為M(2,0),直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中點A在y軸上,P為線段AB上一動點(除A,B兩端點外),過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點Q設線段PQ的長為l,點P的橫坐標為x.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求l與x之間的函數(shù)關系式,并求出l的取值范圍;
(3)線段AB上是否存在一點P,使四邊形PQMA為梯形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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如圖,已知二次函數(shù)y=(x-1)2的圖象的頂點為C點,圖象與直線y=x+m的圖象交于A、B兩點,其中A點的坐標為(3,4),B點在y軸上.
(1)求m的值;
(2)點P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),過點P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E,設線段PE的長為h,點P的橫坐標為x,求h與x之間的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點,在線段AB上是否存在一點P,使得四邊形DCEP是平行四邊形?若存在,請求出此時P點的坐標;若不存在,請說明理由.

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