Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF= DC，連接EF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為4，求BG的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ABCD為正方形，

∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，

∵AE=ED，

∴ ，

∵DF= DC，

∴ ，

∴ ，

∴△ABE∽△DEF

（2）解：∵ABCD為正方形，

∴ED∥BG，

∴ ，

又∵DF= DC，正方形的邊長(zhǎng)為4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC+CG=10

【解析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得 ，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長(zhǎng)，即可求得BG的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)和平行線分線段成比例，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例才能得出正確答案．