Question

如圖，⊙N的圓心N在以AF為直徑的⊙M上，⊙M的弦AE所在的直線與⊙N相切于D點，⊙M與⊙N其中的一個交點為C，AC交⊙N于B點，連結NE、AN，設⊙N、⊙M的半徑分別為2和3．
（1）求證：AN•NE=12；
（2）若AD=，求BC的長．

Answer 1

（1）證明：連結FN、ND，
∵AF為⊙M的直徑．AD切⊙N于D點，
∴∠NDE=∠ANF=90°
∵A、F、N、E四點在⊙M上，
∴∠DEN=∠NFA．
∴△DEN∽△NFA，
∴=，
∴AN•NE=ND•AF=2×2×3=12；

（2）解：連結NB、NC，過點N作NG⊥BC，垂足為G，
在Rt△AND中，AD=，DN=2，則AN=5，
在Rt△AFN中，AF=2×3=6，AN=5，則FN=
∴cosC=cosF=，
在Rt△NGC中，NC=2，
∴CG=NC•cosC=×2=
∵NB=NC，
∴BC=2CG=2×=．
分析：（1）首先得出A、F、N、E四點在⊙M上，進而得出△DEN∽△NFA，進而得出答案；
（2）利用勾股定理得出AN，FN的長，進而得出cosC=cosF=，CG=NC•cosC進而得出BC的長．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及相似三角形的判定與性質和銳角三角函數關系等知識，利用已知得出CG的長是解題關鍵．