Question

已知⊙O，半徑為6米，⊙O外一點(diǎn)P，到圓心O的距離為10米，作射線PM，PN，使PM經(jīng)過(guò)圓心O，PN與⊙O相切，切點(diǎn)為H．
（1）根據(jù)上述條件，畫出示意圖；
（2）求PH的長(zhǎng)；
（3）有兩動(dòng)點(diǎn)A，B，同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，點(diǎn)A以5米/秒的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以4米/秒的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．當(dāng)t為何值時(shí)，直線AB與⊙O相切？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知畫圖即可；
（2）PN與⊙O相切于點(diǎn)H，OH⊥PN，即∠OHP=90°，在直角△OPQ中根據(jù)勾股定理就可以求出PH的值；
（3）過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C．直線AB與⊙O相切，則△PAB∽△POH，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出t的值．

解答：解：（1）根據(jù)已知畫出示意圖（圖一）：

（2）連接OH（圖二），
∵PN與⊙O相切于點(diǎn)H，
∴OH⊥PN，
即∠OHP=90°，
∵OP=10，OH=6，
∴PH=

102-62

=8（cm）．

（3）過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB，垂足為C（圖三圖四），
∵點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)速度為5cm/s，點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)速度為4cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，
∴PA=5t，PB=4t，
∵PO=10，PH=8，
∴

PA

PO

=

PB

PH

，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△POQ，
∴∠PBA=∠PHO=90°，
∵∠BHO=∠CBH=∠OCB=90°，
∴四邊形OCBH為矩形．
∴BH=OC．
∵⊙O的半徑為6，
∴BH=OC=6時(shí)，直線AB與⊙O相切．
①當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖三所示的位置，
BH=PH-PB=8-4t，
∵BH=6，
∴8-4t=6，
∴t=0.5（s）．
②當(dāng)AB運(yùn)動(dòng)到如圖四所示的位置，
BH=PB-PH=4t-8，
∵BH=6，
∴4t-8=6，
∴t=3.5（s）．
∴當(dāng)t為0.5s或3.5s時(shí)直線AB與⊙O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．