Question

如圖，等腰Rt△ABC，AC=BC，以斜邊AB中點(diǎn)O為圓心作⊙O與AC邊相切于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）求tan∠CDE的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，作OF⊥BC于F點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)得到OF為圓的直徑，從而證得BC為⊙O的切線；
（2）設(shè)AC=BC=2a，根據(jù)上題可以得到圓的半徑為a，利用相似三角形將tan∠CDE轉(zhuǎn)化為AF與AD的比值來求即可．

解答：解：（1）連接OD，作OF⊥BC于F點(diǎn)，如圖所示：
∵⊙O與AC邊相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥AC，
∵∠C=90°
∴OD∥BC，
∵O為斜邊AB中點(diǎn)
∴OD=

1

2

BC，
同理可得：OF=

1

2

AC，
∵AC=BC，
∴OD=OF，
∴BC為⊙O的切線；

（2）如圖，連接DG，
∵作⊙O與AC邊相切于點(diǎn)D，DE為弦，
∴∠CDE=∠DGE，∠ADG=∠AED，
∴△AGD∽△AED，
∴

AD

AG

=

AE

AD

=

DE

DG

設(shè)AC=BC=2a，
則OD=OF=DC=CF=AD=BF=OG=OE=a
∴AG=（

2

-1）a
∴tan∠CDE=tan∠DGE=

DE

DG

=

( 2 -1)a

a

=

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是正確的讀題，并正確地作出輔助線．