Question

9．如圖，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，E是CD中點(diǎn)，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，且AE平分∠DAF，求證：AF=AD+CF．

Answer 1

分析 作EM⊥AF于M，連接EF，證明Rt△ADE≌Rt△AME，Rt△EMF≌Rt△ECF，得出AD=AM，F(xiàn)M=FC，從而得出結(jié)論．

解答 解：如圖，作EM⊥AF于M，連接EF，

∵∠D=90°，
∴∠D=∠AME=90°，
∵AE平分∠DAF，
∴∠1=∠2，
∴DE=ME，
在Rt△ADE與Rt△AME中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=ME}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△AME，
∴AM=AD，
∵E是DC中點(diǎn)，
∴EC=DE=EM，
在Rt△EMF與Rt△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EM=EC}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EMF≌Rt△ECF，
∴FM=FC，
∵AF=AM+MF，
∴AF=AD+CF．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線，構(gòu)建全等三角形是解題的關(guān)鍵．