Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，OE：EA=1：2，PA=6，∠POC=∠PCE．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求sin∠PCA的值．

Answer 1

分析：（1）由弦CD⊥AB于點(diǎn)E，所以∠COE+∠OCE=90°，又∠POC=∠PCE，所以，∠PCE+∠OCE=90°，即可證明；
（2）由OE：EA=1：2，可設(shè)OE=k，EA=2k，則半徑r=3k，易證△COE∽△POC，所以，CO²=OE•OP，代入即可求得；
（3）過(guò)A作AH⊥PC，垂足為H，由PC⊥OC∴AH∥OC，得AH=2，在Rt△COE中，解得CE=2

2

，在Rt△ACE中，解得AC=2

3

，即可得出結(jié)論；

解答：解：（1）證明：∵弦CD⊥AB于點(diǎn)E，
∴在Rt△COE中∠COE+∠OCE=90°，
∵∠POC=∠PCE，
∴∠PCE+∠OCE=90°，即PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切線；

（2）∵OE：EA=1：2，PA=6，
∴可設(shè)OE=k，EA=2k，則半徑r=3k，
在Rt△COP中，
∵CE⊥PO垂足為E，
∴△COE∽△POC，
∴CO²=OE•OP即（3k）²=k•（3k+6），
解得k=0（舍去）或k=1，
∴半徑r=3；

（3）過(guò)A作AH⊥PC，垂足為H，
∵PC⊥OC∴AH∥OC，
∴

AH

OC

=

AP

PO

，即

AH

3

=

6

9

，解得AH=2，
在Rt△COE中，由OC=3，OE=1，解得CE=2

2

，
在Rt△ACE中，由CE=2

2

，AE=2，解得AC=2

3

，
在Rt△ACH中，由AC=2

3

，AH=2，
∴sin∠PCA=

AH

AC

=

2

2 3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形、相似三角形及切線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，應(yīng)熟練掌握其判定、性質(zhì)定理，考查了學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力．