Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D，其頂點為C，已知A、D兩點的坐標分別為A（-1，0），D（0，3），
①求該拋物線的表達式；
②△AOD與△BCD是否相似？若相似請加以證明；若不相似，請說明理由．
③拋物線上有一動點P，點P在第一象限且在對稱軸的右側(cè)，問是否存在這樣的點P，使四邊形APCD的面積等于4？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：①把點A、D的坐標分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于b、c的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；
②根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得點C的坐標，然后利用兩點間的距離公式分別求得BD=3，CD=，BC=2，OA=1，OD=3，AD=．由勾股定理的逆定理推知∠CDB=90°．所以只有△AOD∽△BDC，或△AOD∽△CDB．則利用相似三角形的對應邊成比例推知△AOD∽△CDB．
解答：解：①如圖，∵A、D兩點的坐標分別為A（-1，0），D（0，3），
∴，
解得，
∴該拋物線的解析式是：y=-x²+2x+3；

②△AOD與△BCD相似．理由如下：假設(shè)△AOD與△BCD相似．
如圖，連接AD．
∵A（-1，0），D（0，3），
∴OA=1，OD=3，AD=．
∵由①知，拋物線的解析式是y=-x²+2x+3=-（x-3）（x+1）；
∴A（-1，0），B（3，0），對稱軸x=1．
當x=1時，y=4，即C（1，4）．
∴BD=3，CD=，BC=2，
∴BC²=BD²+CD²，則∠CDB=90°．
又∵∠AOD=90°．
∴只有△AOD∽△BDC，或△AOD∽△CDB．
當△AOD∽△BDC時，=，而==，==，
∴≠，這與=相矛盾，
∴△AOD與△BDC不相似；
當△AOD∽△CDB時，=，而==，==，
∴=，
∴△AOD∽△CDB．
綜上所述，△AOD與△BCD相似．
點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等．解答②題時，也可以利用三角函數(shù)的定義來證明△AOD與△BCD相似；