Question

【題目】在正方形ABCD中，動點E，F分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動．
（1）如圖①，當(dāng)點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，當(dāng)E，F分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不須證明）
（3）如圖③，當(dāng)E，F分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）AE=DF,AE⊥DF，理由詳見解析；（2）是；（3）成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）AE=DF，AE⊥DF．先證得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）根據(jù)正方形性質(zhì)得AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，可得△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因為∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，故AE⊥DF；
（3）由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

（1）AE=DF，AE⊥DF．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°．
∴AE⊥DF；
（2）是．四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因為∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；
（3）成立．
理由：由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF
延長FD交AE于點G，

則∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°．
∴AE⊥DF；