Question

【題目】如圖，頂點(diǎn)M在y軸上的拋物線與直線y=x+1相交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，連結(jié)AM、BM．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）判斷△ABM的形狀，并說明理由；

（3）把拋物線與直線y=x的交點(diǎn)稱為拋物線的不動(dòng)點(diǎn)．若將（1）中拋物線平移，使其頂點(diǎn)為（m，2m），當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，平移后的拋物線總有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣1；（2））△ABM為直角三角形，理由詳見解析；（3）當(dāng)m＜時(shí)，平移后的拋物線總有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．

【解析】

（1）由條件可分別求得A、B的坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）結(jié)合（1）中A、B、C的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可分別求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2，可判定△ABM為直角三角形；

（3）由條件可寫出平移后的拋物線的解析式，聯(lián)立y=x，可得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)根的判別式可求得m的范圍．

（1）∵A點(diǎn)為直線y=x+1與x軸的交點(diǎn)，

∴A（﹣1，0），

又B點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，代入y=x+1可求得y=3，

∴B（2，3），

∵拋物線頂點(diǎn)在y軸上，

∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+c，

把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣1；

（2）△ABM為直角三角形．理由如：

由（1）拋物線解析式為y=x2﹣1可知M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），

∴AM=，AB=，BM=，

∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，

∴△ABM為直角三角形；

（3）當(dāng)拋物線y=x2﹣1平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，2m）時(shí)，其解析式為y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，

聯(lián)立y=x，可得，

消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，

∵平移后的拋物線總有不動(dòng)點(diǎn)，

∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

∴△＞0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，

解得m＜，

即當(dāng)m＜時(shí)，平移后的拋物線總有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．