Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（-3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P、M、A為頂點(diǎn)的三角形△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于拋物線經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（-3，3）及原點(diǎn)O，待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等以及對(duì)角線互相平分，可以求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），且過(guò)A（-2，0），B（-3，3），O（0，0）可得
，
解得．
故拋物線的解析式為y=x²+2x；

（2）①當(dāng)AO為邊時(shí)，
∵A、O、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴DE=AO=2，
則D在x軸下方不可能，
∴D在x軸上方且DE=2，
則D₁（1，3），D₂（-3，3）；
②當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí)，則DE與AO互相平分，
∵點(diǎn)E在對(duì)稱(chēng)軸上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1，
由對(duì)稱(chēng)性知，符合條件的點(diǎn)D只有一個(gè)，與點(diǎn)C重合，即D₃（-1，-1）
故符合條件的點(diǎn)D有三個(gè)，分別是D₁（1，3），D₂（-3，3），D₃（-1，-1）；

（3）存在，
如圖：∵B（-3，3），C（-1，-1），根據(jù)勾股定理得：
BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²．
∴△BOC是直角三角形．
假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的 三角形與△BOC相似，
設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，則=，
即 x+2=3（x²+2x）
得：x₁=，x₂=-2（舍去）．
當(dāng)x=時(shí)，y=，即P（，）．
②若△PMA∽△BOC，則=，
即：x²+2x=3（x+2）
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）
當(dāng)x=3時(shí)，y=15，即P（3，15）．
故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，15）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)確定點(diǎn)D和點(diǎn)P的坐標(biāo)．