Question

楊老師在課上講了一個(gè)重要的不等式：a＞0時(shí)a+

1

a

≥2后，隨手出了一個(gè)題目：解方程：（x²⁰⁰⁸+1）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁶）=2008•x²⁰⁰⁷，你能求解嗎？

Answer 1

分析：根據(jù)已知得到x＞0，方程兩邊同除以x²⁰⁰⁷得到（x+

1

x2007

）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁶）=2008，展開(kāi)后得出（x+

1

x

）+（x³+

1

x3

）+…+（x²⁰⁰⁷+

1

x2007

）=2008，根據(jù)x+

1

x

推出（x+

1

x

）+（x³+

1

x3

）+…+（x+

1

x2007

）≥2008，得到方程x=

1

x

，求出即可．

解答：解：易知x＞0，方程兩邊同除以x²⁰⁰⁷得
（x+

1

x2007

）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁶）=2008，
∴x+x³+x⁵+…+x²⁰⁰⁷+

1

x2007

+

1

x2005

+…+

1

x

=2008，
∴（x+

1

x

）+（x³+

1

x3

）+…+（x²⁰⁰⁷+

1

x2007

）=2008．
又∵x+

1

x

≥2，x³+

1

x3

≥2，…，x²⁰⁰⁷+

1

x2007

≥2．
∴（x+

1

x

）+（x³+

1

x3

）+…+（x+

1

x2007

）≥2008．
要使方程成立，必須有x=

1

x

，x³=

1

x3

，…，x²⁰⁰⁷=

1

x2007

，即x=±1．
但x＞0，故x=1，
答：x=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)幾何不等式的理解和掌握，能把方程轉(zhuǎn)化成x+

1

x

的形式并熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．