Question

楊老師在課上講了一個重要的不等式：a＞0時a+

1

a

≥2后，隨手出了一個題目：解方程：（x²⁰⁰⁸+1）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁶）=2008•x²⁰⁰⁷，你能求解嗎？

Answer 1

易知x＞0，方程兩邊同除以x²⁰⁰⁷得
（x+

1

x2007

）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁶）=2008，
∴x+x³+x⁵+…+x²⁰⁰⁷+

1

x2007

+

1

x2005

+…+

1

x

=2008，
∴（x+

1

x

）+（x³+

1

x3

）+…+（x²⁰⁰⁷+

1

x2007

）=2008．
又∵x+

1

x

≥2，x³+

1

x3

≥2，…，x²⁰⁰⁷+

1

x2007

≥2．
∴（x+

1

x

）+（x³+

1

x3

）+…+（x+

1

x2007

）≥2008．
要使方程成立，必須有x=

1

x

，x³=

1

x3

，…，x²⁰⁰⁷=

1

x2007

，即x=±1．
但x＞0，故x=1，
答：x=1．