【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)連接AE,若AB=6cm,BC= cm.
①求sin∠EAD的值;
②若點P為線段AE上一動點(不與點A重合),連接OP,一動點Q從點O出發(fā),以1cm/s的速度沿線段OP勻速運動到點P,再以1.5cm/s的速度沿線段PA勻速運動到點A,到達點A后停止運動,當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時,求AP的長和點Q走完全程所需的時間.
【答案】
(1)
證明:∵四邊形ABCD是矩形.
∴OD=OB=OC=OA,
∵△EDC和△ODC關(guān)于CD對稱,
∴DE=DO,CE=CO,
∴DE=EC=CO=OD,
∴四邊形CODE是菱形.
(2)
解:①設(shè)AE交CD于K.
∵四邊形CODE是菱形,
∴DE∥AC,DE=OC=OA,
∴ = =
∵AB=CD=6,
∴DK=2,CK=4,
在Rt△ADK中,AK= = =3,
∴sin∠DAE= = ,
②作PF⊥AD于F.易知PF=APsin∠DAE= AP,
∵點Q的運動時間t= + =OP+ AP=OP+PF,
∴當O、P、F共線時,OP+PF的值最小,此時OF是△ACD的中位線,
∴OF= CD=3.AF= AD= ,PF= DK=1,
∴AP= = ,
∴當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時,AP的長為 ,點Q走完全程所需的時間為3s.
【解析】(1)只要證明四邊相等即可證明;(2)①設(shè)AE交CD于K.由DE∥AC,DE=OC=OA,推出 = = ,由AB=CD=6,可得DK=2,CK=4,在Rt△ADK中,AK= = =3,根據(jù)sin∠DAE= 計算即可解決問題;②作PF⊥AD于F.易知PF=APsin∠DAE= AP,因為點Q的運動時間t= + =OP+ AP=OP+PF,所以當O、P、F共線時,OP+PF的值最小,此時OF是△ACD的中位線,由此即可解決問題.
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著地鐵和共享單車的發(fā)展,“地鐵+單車”已成為很多市民出行的選擇.李華從文化宮站出發(fā),先乘坐地鐵,準備在離家較近的A,B,C,D,E中的某一站出地鐵,再騎共享單車回家.設(shè)他出地鐵的站點與文化宮距離為x(單位:千米),乘坐地鐵的時間y1(單位:分鐘)是關(guān)于x的一次函數(shù),其關(guān)系如下表:
地鐵站 | A | B | C | D | E |
x(千米) | 8 | 9 | 10 | 11.5 | 13 |
y1(分鐘) | 18 | 20 | 22 | 25 | 28 |
(1)求y1關(guān)于x的函數(shù)表達式;
(2)李華騎單車的時間y2(單位:分鐘)也受x的影響,其關(guān)系可以用y2=x2-11x+78來描述,請問:李華應選擇在哪一站出地鐵,才能使他從文化宮回到家所需的時間最短?并求出最短時間.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】點P(2,﹣3)關(guān)于x軸的對稱點的坐標為( )
A. (﹣2,﹣3) B. (2,3) C. (﹣2,3) D. (3,﹣2)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】當a=0時,方程ax+b=0(其中x是未知數(shù),b是已知數(shù))的解的情況是( )
A. 唯一解B. 無解C. 有無數(shù)多個解D. 無解或有無數(shù)多個解
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某蓄水池的橫斷面示意圖如圖所示,分深水區(qū)和淺水區(qū),如果這個注滿水的蓄水池以固定的流量把水全部放出,下面的圖象能大致表示水的深度h和放水時間t之間的關(guān)系的是( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若△ABC∽△A′B′C′,且△ABC與△A′B′C′的相似比為1:2,則△ABC與△A′B′C′的面積比是( )
A.1:1
B.1:2
C.1:3
D.1:4
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