Question

如圖1，在菱形ABCD中，∠A=60°．點E，F分別是邊AB，AD上的點，且滿足，連結(jié)EF．

 （1）若AF=1，求EF的長；

 （2）取CE的中點M，連結(jié)BM，FM，BF．求證：；

 （

F

3）如圖2，若點E，F分別是邊AB，AD延長線上的點，其它條件不變，結(jié)論是否仍然成立（不需證明）．

Answer 1

（1）解：∵四邊形ABCD是菱形，

            ∴ AB = AD = BC= DC，．

            又∵，

∴△CBE≌△CDF．

∴BE=DF．

又∵AB =AD，∴AB－BE =AD－DF，即AE=AF．

又∵∠A=60°，∴△AEF是等邊三角形．

∴EF=AF．

∵AF=1，∴EF=1．

（2）證明：延長BM交DC于點N，連結(jié)FN．（如答圖）

∵四邊形ABCD是菱形，

∴，

∴,．

∵點M是CE的中點，

∴CM=EM．

∴△CMN≌△EMB．

∴NM=MB，CN=BE．

又∵AB = DC．∴DC－CN=AB－BE， 即DN=AE．

∵是等邊三角形，∴，EF=AE．

∴，EF=DN．

∵，∴．

又∵∠A=60°，∴，

∴．

又∵DN=EF，BE=DF．

∴△FDN≌△BEF．

∴FN=FB，

又∵NM=MB，∴．

（3）結(jié)論仍然成立