Question

【題目】如圖，已知正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象交于A、B兩點，且點A的橫坐標為4．

（1）求k的值；
（2）根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時x的取值范圍；
（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線y=（k＞0）于P、Q兩點（P點在第一象限），若由點A、P、B、Q為頂點組成的四邊形面積為24，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）∵點A在正比例函數(shù)y=x上，
∴把x=4代入正比例函數(shù)y=x，
解得y=2，∴點A（4，2），
∵點A與B關(guān)于原點對稱，
∴B點坐標為（﹣4，﹣2），
把點A（4，2）代入反比例函數(shù)y=，得k=8，
（2）由交點坐標，根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時x的取值范圍，x＜﹣4或0＜x＜4；
（3）∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點O的中心對稱圖形，
∴OP=OQ，OA=OB，
∴四邊形APBQ是平行四邊形，
∴S△POA=S平行四邊形APBQ×=×24=6，
設(shè)點P的橫坐標為m（m＞0且m≠4），
得P（m，），
過點P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，
∵點P、A在雙曲線上，
∴S△POE=S△AOF=4，
若0＜m＜4，如圖，
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF ，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴（2+）（4﹣m）=6．
∴m1=2，m2=﹣8（舍去），
∴P（2，4）；
若m＞4，如圖，
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE ，
∴S梯形PEFA=S△POA=6．
∴（2+）（m﹣4）=6，
解得m1=8，m2=﹣2（舍去），
∴P（8，1）．
∴點P的坐標是P（2，4）或P（8，1）．

【解析】（1）先將x=4代入正比例函數(shù)y=x，可得出y=2，求得點A（4，2），再根據(jù)點A與B關(guān)于原點對稱，得出B點坐標，即可得出k的值；
（2）正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值即正比例函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方，根據(jù)圖形可知在交點的右邊正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．
（3）由于雙曲線是關(guān)于原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即6．可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點的坐標，然后表示出△POA的面積，由于△POA的面積為6，由此可得出關(guān)于P點橫坐標的方程，即可求出P點的坐標．