Question

求n=1×3×5×7×…×1999的末三位數(shù)字．

Answer 1

原式=A=1×3×5×…×1999，
則A=（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×125×127×129）?…（1993×1995×1997×1999），
則A=125×[（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）]，
下面證明兩個引理：
引理1：125的奇數(shù)倍的末尾3位數(shù)只能是125、375、625、875中之一
證明：設k為奇數(shù)，則k除以8余數(shù)只有1，3，5，7．
則k=8m+i，其中i=1，3，5，7，
那么
k×125=k×（8m+i）=1000×m+125×i，
即k×125的末3位數(shù)字是125、375、625、875中之一
引理2：四個連續(xù)奇數(shù)的乘積除以8的余數(shù)是1
證明：設B=（2n+1）（2n+3）（2n+5）（2n+7）
=（4n²+8n+3）（4n²+24n+35）
當n=2m時，B≡1 mod（8）
當n=2m+1時，B≡1 mod（8）
綜上，四個連續(xù)奇數(shù)的乘積除以8的余數(shù)是1
∴[（1×3×5×7）?（9×11×13×15）?（17×19×21×23）?…?（123×127×129）?…（1993×1995×1997×1999）]
≡1?1?…?（123×127×129）?…1mod（8），
≡5 mod（8），
∴A=125×（8k+5）=1000k+625，其中k為正整數(shù)．
綜上1×3×5×…×1999的末尾3位數(shù)是625．