Question

如圖，已知△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D是AB上一動點，DE∥BC，交AC于E，將四邊形BDEC沿DE向上翻折，得四邊形B'DEC'，B'C'與AB、AC分別交于點M、N．
（1）證明：△ADE∽△ABC；
（2）設AD為x，梯形MDEN的面積為y，試求y與x的函數關系式．當x為何值時y有最大值？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據DE∥BC得△ADE∽△ABC；
（2）S_梯形MDEN=S_△ADE-S_△AMN．根據△ADE∽△ABC，△AMN∽△ABC分別用含x的代數式表示S_△ADE，S_△AMN得y與x的函數關系式，應用函數性質求解．
解答：（1）證明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C．
∴△ADE∽△ABC．   （2分）

（2）解：∵S_△ABC=24，△ADE∽△ABC，相似比為，
∴，所以．    （4分）
∵∠1=∠2，∠1=∠B'MD，∠2=∠B'，
∴∠B'=∠B'MD
∴B'D=MD．
又B'D=BD，∴MD=BD．
∴AM=AB-MB=6-2（6-x）=2x-6．    （6分）
同理，△AMN∽△ABC，
∴． （8分）
配方得y=-2（x-4）²+8
∴當x=4時，y有最大值．   （10分）
點評：此題為二次函數與相似三角形的綜合題，有一定難度．