Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為平面內(nèi)一點(diǎn)，給出如下定義：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，作正方形ABCD（點(diǎn)A，B，C，D順時(shí)針排列），即稱(chēng)正方形ABCD為以A為圓心，OA為半徑的⊙A的“友好正方形”．
（1）如圖1，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），則⊙A的半徑為 ．
（2）如圖2，點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y= （x＞0）上，它的橫坐標(biāo)是2，正方形ABCD是⊙A的“友好正方形”，試判斷點(diǎn)C與⊙A的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，若點(diǎn)A是直線(xiàn)y=﹣x+2上一動(dòng)點(diǎn)，正方形ABCD為⊙A的“友好正方形”，且正方形ABCD在⊙A的內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）解：如圖2中，

∵A（2， ），∴O A=

∵AC=2 = =

∴O A＜A C，

∴點(diǎn)C在⊙A外．

（或如圖，利用勾股定理直觀分析：∵OB＜BC，AB=AB，∴O A＜A C也可以）

（3）解：如圖3中，

∵點(diǎn)A是直線(xiàn)y=﹣x+2上一動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與坐標(biāo)軸是夾角為45°，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴點(diǎn)C（0，2），

∴當(dāng)AC＜OA時(shí)，正方形ABCD在⊙A內(nèi)部，

∵AC=OA時(shí)，點(diǎn)A（1，1），

∴m＜1時(shí)，AC＜OA，

∵m=0時(shí)，正方形不存在，

∴m＜1且m≠0時(shí)，正方形ABCD在⊙A內(nèi)部

【解析】解：（1）如圖1中，連接OA．
∵A（1，1），AB⊥y軸，
∴AB=OB=1，∠ABO=90°，
∴OA= = = ，
∴⊙A的半徑為 ．
所以答案是 ；