Question

設(shè)n為正整數(shù)，m=12n．已知m的約數(shù)個(gè)數(shù)是n的約數(shù)個(gè)數(shù)的2倍，則符合這種情形的最小的n是（　�。┪粩�(shù)．

A、1

B、2

C、3

D、不小于4

Answer 1

分析：假設(shè)n=2^a₁×3^a₂×（k₃）^a₃×…（k_p）^a_p，則n的約數(shù)個(gè)數(shù)為（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），根據(jù)m=12n，則m約數(shù)個(gè)數(shù)為（3+a₁）（2+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），在由m的約數(shù)個(gè)數(shù)是n的約數(shù)個(gè)數(shù)的2倍，即可求出風(fēng)和這種情形的最小的n值．

解答：解：假設(shè)n=2^a₁×3^a₂×（k₃）^a₃×…（k_p）^a_p，
則n的約數(shù)個(gè)數(shù)為（1+a₁）（1+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），
m=n×2²×3，則m約數(shù)個(gè)數(shù)為（3+a₁）（2+a₂）（1+a₃）…（1+a_p），
所以（3+a₁）（2+a₂）=2（1+a₁）（1+a₂），
化簡(jiǎn)得a₂（a₁-1）=4，
則a₂=1或2或4，則n最小值為2^a₁×3^a₂，代進(jìn)去，求得最小值為2³×3²=72，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查整數(shù)問題的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵是設(shè)出n=2^a₁×3^a₂×（k₃）^a₃×…（k_p）^a_p，難度較大．