平面內(nèi)有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直線MN.過點C作CE⊥MN于點E,過點B作BF⊥MN于點F.當點E與點A重合時(如圖1),易證:AF+BF=2CE.當三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時,上述結(jié)論是否仍然成立?若成立,請給予證明;若不成立,線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,請直接寫出你的猜想,不需證明.

【答案】分析:過B作BH⊥CE與點H,易證△ACE≌△CBH,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等,即可證得AF+BF=2CE.
解答:解:圖2,AF+BF=2CE仍成立,
證明:過B作BH⊥CE于點H,
∵∠BCH+∠ACE=90°,
又∵在直角△ACE中,∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠CAE=∠BCH,
又∵AC=BC,∠AEC=∠BHC=90°
∴△ACE≌△CBH.
∴CH=AE,BF=HE,CE=BH,
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC.
圖3中,過點C作CG⊥BF,交BF延長線于點G,
∵AC=BC,
可得∠AEC=∠CGB,
∠ACE=∠BCG,
∴△CBG≌△CAE,
∴AE=BG,
∵AF=AE+EF,
∴AF=BG+CE=BF+FG+CE=2CE+BF,
∴AF-BF=2CE.

點評:正確作出垂線,構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標系內(nèi),Rt△ABC的直角頂點C(0,
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)在y軸的正半軸上,A、B是x軸上是兩點,且OA:OB=3:1,以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點E,交BC于點F.直線EF交OC于點Q.
(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)請猜想:直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系并證明你的猜想;
(3)在△AOC中,設(shè)點M是AC邊上的一個動點,過M作MN∥AB交OC于點N.試問:精英家教網(wǎng)在x軸上是否存在點P,使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:044

如圖,在平面直角坐標系內(nèi),Rt△ABC的直角頂點C(0,)在軸的正半軸上,A、B軸上是兩點,且OAOB=3∶1,以OA、OB為直徑的圓分別交AC于點E,交BC于點F.直線EFOC于點Q.

(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式;

(2)請猜想:直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系?并證明你的猜想.

(3)在△AOC中,設(shè)點MAC邊上的一個動點,過MMN∥ABOC于點N.試問:在軸上是否存在點P,使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標系內(nèi),Rt△ABC的直角頂點C(0,數(shù)學(xué)公式)在y軸的正半軸上,A、B是x軸上是兩點,且OA:OB=3:1,以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點E,交BC于點F.直線EF交OC于點Q.
(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)請猜想:直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系并證明你的猜想;
(3)在△AOC中,設(shè)點M是AC邊上的一個動點,過M作MN∥AB交OC于點N.試問:在x軸上是否存在點P,使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年全國中考數(shù)學(xué)試題匯編《二次函數(shù)》(04)(解析版) 題型:解答題

(2004•襄陽)如圖,在平面直角坐標系內(nèi),Rt△ABC的直角頂點C(0,)在y軸的正半軸上,A、B是x軸上是兩點,且OA:OB=3:1,以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點E,交BC于點F.直線EF交OC于點Q.
(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)請猜想:直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系并證明你的猜想;
(3)在△AOC中,設(shè)點M是AC邊上的一個動點,過M作MN∥AB交OC于點N.試問:在x軸上是否存在點P,使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2004年湖北省襄樊市中考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(2004•襄陽)如圖,在平面直角坐標系內(nèi),Rt△ABC的直角頂點C(0,)在y軸的正半軸上,A、B是x軸上是兩點,且OA:OB=3:1,以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點E,交BC于點F.直線EF交OC于點Q.
(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式;
(2)請猜想:直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系并證明你的猜想;
(3)在△AOC中,設(shè)點M是AC邊上的一個動點,過M作MN∥AB交OC于點N.試問:在x軸上是否存在點P,使得△PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形?若存在,求出P點坐標;若不存在,請說明理由.

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