Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線為拋物線（、、為常數(shù)，）的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)在軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．

已知拋物線與其“夢(mèng)想直線”交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)．

（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；

（2）如圖，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將以所在直線為對(duì)稱(chēng)軸翻折，點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，若為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)、的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），（﹣2，），（1，0）；（2）（0，﹣3）或（0，+3）；（3）存在，E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）.

【解析】

試題分析：（1）由夢(mèng)想直線的定義可求得其解析式，聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可求得A、B的坐標(biāo)；

（2）過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則可知AN=AC，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得ON的長(zhǎng)，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）當(dāng)AC為平行四邊形的一邊時(shí)，過(guò)F作對(duì)稱(chēng)軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，可證△EFH≌△ACK，可求得DF的長(zhǎng)，則可求得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，由HE的長(zhǎng)可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)E（﹣1，t），由A、C的坐標(biāo)可表示出AC中點(diǎn)，從而可表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵拋物線，

∴其夢(mèng)想直線的解析式為，

聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得，解得或，

∴A（﹣2，），B（1，0），

故答案為：，（﹣2，），（1，0）；

（2）如圖1，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，

在中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，

∴C（﹣3，0），且A（﹣2，），

∴，

由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=，

∵△AMN為夢(mèng)想三角形，∴N點(diǎn)在y軸上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=，

∵OD=，∴ON=﹣3或ON=+3，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）或（0，+3）；

（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖2，過(guò)F作對(duì)稱(chēng)軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，

則有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中

∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=，

∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=﹣1，∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或﹣2，

∵點(diǎn)F在直線AB上，

∴當(dāng)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0時(shí)，則F（0，），此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方，

∴E到y(tǒng)軸的距離為EH﹣OF=﹣=，即E點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣，

∴E（﹣1，﹣）；

當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2時(shí)，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

∵C（﹣3，0），且A（﹣2，），

∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2.5，），

設(shè)E（﹣1，t），F(xiàn)（x，y），

則x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=，

∴x=﹣4，y=﹣t，

代入直線AB解析式可得﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，

∴E（﹣1，﹣），F(xiàn)（﹣4，）；

綜上可知存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)F，此時(shí)E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．