Question

【題目】如圖：一次函數y=kx+b的圖像交x軸正半軸于點A、y軸正半軸于點B，且OA=OB=1．以線段AB為邊在第一象限作正方形ABCD，點D在反比例函數y=圖像上．

（1）求一次函數的關系式，并判斷點C是否在反比例函數y=圖像上；

（2）在直線AB上找一點P，使PC+PD的值最小，并求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點C在反比例函數圖像上；（2）P（，）

【解析】（1）利用待定系數法求出一次函數的解析式，過D作DE⊥x軸于E,證△OAB≌△EDA,得出點D坐標，同理可求出C點坐標，再利用待定系數法求出反比例函數的解析式，將點C代入反比例函數解析式中驗證即可得出點C在反比例函數的圖象上；

（2）延長DA交y軸于F，根據△OAB是等腰直角三角形可證D與F關于直線AB對稱，連接CF與直線AB的交點即為點P，利用待定系數法求出直線CF的解析式，即可得出答案.

（1）∵OA=OB=1，

∴A(1,0)，B（0,1），

∴一次函數關系式為y=－x+1，

過D作DE⊥x軸于E,

∵∠B=∠AED=90°, ∠BAD=90°,

∴∠OBA+∠OAB=90°, ∠DAE+∠OAB=90°,

∴∠OBA=∠DAE,

又∵AB=DA,

∴△OAB≌△EDA,

∴AE=OB=1,DE=OA=1,

∴OE=2,

∴D(2,1)

同理可得，C（1,2）

把D(2,1)代入y=中，則m＝2，

∴y=，

當x＝1時，y＝2，

∴點C在反比例函數圖像上；

（2）延長DA交y軸于F，

∵∠BAD=90°,

∴∠BAF=90°,

∵△OAB是等腰直角三角形，

∴∠OBA=45°,

∴△FAB是等腰直角三角形，

∴AF=AB=AD,

∴AB垂直平分DF，

即D與F關于直線AB對稱，

連接CF交AB于P，則點P即為所求.

∵C（1，2）、F（0，-1），

∴直線CF的函數的關系式為y=3x-1，

解方程組 得，

∴P（，）.