【題目】我們知道平行四邊形有很多性質,現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折,會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結論.

(發(fā)現(xiàn)與證明中,,將沿翻折至,連結.

結論1重疊部分的圖形是等腰三角形;

結論2.

試證明以上結論.

(應用與探究)

中,已知,,將沿翻折至,連結.若以、為頂點的四邊形是正方形,求的長.(要求畫出圖形)

【答案】【發(fā)現(xiàn)與證明】結論1:見解析,結論2:見解析;【應用與探究】AC的長為2.

【解析】

【發(fā)現(xiàn)與證明】由平行四邊形的性質得出∠EAC=ACB,由翻折的性質得出∠ACB=ACB′,證出∠EAC=ACB′,得出AE=CE;得出DE=BE,證出∠CBD=BDA= 180°-BED),由∠AEC=BED,得出∠ACB=CBD,即可得出BDAC;

【應用與探究】:分兩種情況:①由正方形的性質得出∠CAB=90°,得出∠BAC=90°,再由三角函數(shù)即可求出AC;②由正方形的性質和已知條件得出AC=BC=2

【發(fā)現(xiàn)與證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,

AD=BC,ADBC

∴∠EAC=ACB,

∵△ABC≌△ABC

∴∠ACB=ACB,BC=BC,

∴∠EAC=ACB′,

AE=CE

即△ACE是等腰三角形;

DE=BE

∴∠CBD=BDA=12(180°BED),

∵∠AEC=BED,

∴∠ACB=CBD,

BDAC

【應用與探究】:分兩種情況:①如圖1所示:

∵四邊形ACDB′是正方形,

∴∠CAB=90°,

∴∠BAC=90°,

∵∠B=45°,

AC=;

②如圖2所示:AC=BC=2;

綜上所述:AC的長為2.

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