Question

下圖是二次函數(shù)y=（x+m）²+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，-4）．
（1）求出圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=S_△MAB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點(diǎn)時，b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)確定m、k的值，再令y=0求得圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)存在這樣的P點(diǎn)，由于底邊相同，求出△PAB的高|y|，將y求出代入二次函數(shù)表達(dá)式求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）畫出翻轉(zhuǎn)后新的函數(shù)圖象，由直線y=x+b，b＜1確定出直線移動的范圍，求出b的取值范圍．
解答：解：（1）因為M（1，-4）是二次函數(shù)y=（x+m）²+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
所以y=（x-1）²-4=x²-2x-3，
令x²-2x-3=0，
解之得x₁=-1，x₂=3．
∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（3，0）；（4分）

（2）在二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使，
設(shè)P（x，y），
則，
又∵，
∴．
∵二次函數(shù)的最小值為-4，
∴y=5．
當(dāng)y=5時，x=-2或x=4．
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，5）或（4，5）；

（3）如圖，當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A（-1，0）時-1+b=0，可得b=1，又因為b＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）時，3+b=0，則b=-3，
由圖可知符合題意的b的取值范圍為-3＜b＜1時，直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個公共點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查了由函數(shù)圖象確定坐標(biāo)，以及給出面積關(guān)系求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線與圖象的交點(diǎn)問題，綜合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．