如圖1，在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，∠CAB+∠BDE=180°，∠CAB=α，P為CE的中點，連接AP、DP．若α=120°，探究線段AP、DP的關(guān)系．
說明：如果你經(jīng)過反復探索沒有解決問題，可以更改條件將“α=120°”改為“α=90°”，選取圖2完成證明得10分．

【答案】分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠AGB=∠BHD，∠ABG=∠1，即可得出△AGB∽△BHD，進而得出四邊形GPHB為平行四邊形，再得出△DHP∽△PGA，得出線段AP、DP的關(guān)系．
解答：解：AP⊥DP，AP=DP．
分別取BC、BE的中點G、H，連接AG、PG、DH、PH，
∵AB=AC，∴∠AGB=90°，
又∵α=120°，
∴∠GAB=α=60°，∠ABG=30°，BG=AG，
∵∠CAB+∠BDE=180°，∴∠BDE=60°，
同理可得∠DHB=90°，∠1=30°，
∴∠AGB=∠BHD，∠ABG=∠1，
∴△AGB∽△BHD，
∴=，
∵P為CE的中點，H為BE的中點，
∴PH∥BG，PH=BC=BG，
∴四邊形GPHB為平行四邊形，
∴BH=PG，∠2=∠3，
∴=，即=，∠DHP=∠PGA，
∴△DHP∽△PGA，
∴∠4=∠5，===，
∠6=∠5+90°=∠4+∠APD，
∴∠APD=90°，
即AP⊥DP，
AP=DP．
點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定和平行四邊形的判定，熟練應用相似三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

23、如圖1，在△ABC和△DEF中，AC∥DE，∠EFD與∠B互補，DE=kAC（k＞1）．試探索線段EF與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
說明：如果你反復探索沒有解決問題，可以選取k=1（圖2）來證明，此時滿分7分．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•濟南）（1）如圖1，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且點B，C，E在一條直線上．
求證：∠A=∠D．
（2）如圖2，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB=4，∠AOD=120°，求AC的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

數(shù)學活動課上，甲、乙兩位同學在研究一道數(shù)學題：“已知：如圖1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，∠B=50°，∠E=32°，且BC=EF．試畫直線m，l，使直線m將△ABC分成的兩個小三角形與直線l將△DEF分成的兩個小三角形分別相似，并標出每個小三角形各內(nèi)角的度數(shù)．”
甲同學是這樣做的：如圖2，使得兩個直角三角形的斜邊重合，以斜邊中點0為圓心，OB長為半徑作出輔助圓，根據(jù)到定點的距離等于定長的點在圓上，可知A、B（E）、C（F）、D在⊙0上．設BD所在的直線m與AC所在的直線l交于點G，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，由∠ABC=50°，∠DEF=32°，易求得∠ABG=DFG=18°，再由∠A=∠D=90°，可求得∠AGB=∠DGF=72°，∠GCB=40°，∠BGC=108°，從而△AGB∽△DGF．△GBC∽△GEF．
乙同學在甲同學的啟發(fā)下，利用輔助圓又補充了其它分割方法．
你看明白甲同學的分割方法了嗎？請你仿照甲同學的方法，把這道題其它的所有分割方法補充完整．
要求：不需寫解答過程．如圖2所示．利用輔助圓畫出示意圖，標明直線及每個小三角形各內(nèi)角的度數(shù)即可．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB與CE交于F，ED與AB、BC分別交于M、H．
（1）試說明CF=CH；
（2）如圖2，△ABC不動，將△EDC從△ABC的位置繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角∠BCD為多少度時，四邊形ACDM是平行四邊形，請說明理由；
（3）當AC=
2
時，在（2）的條件下，求四邊形ACDM的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖1，在△ABC和△DBE中，AB=AC，DB=DE，∠CAB+∠BDE=180°，∠CAB=α，P為CE的中點，連接AP、DP．若α=120°，探究線段AP、DP的關(guān)系．
說明：如果你經(jīng)過反復探索沒有解決問題，可以更改條件將“α=120°”改為“α=90°”，選取圖2完成證明得10分．

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