【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,CD與⊙O相切于點C,與AB的延長線交于D.

(1)求證:ADC∽△CDB;

(2)若AC=2,AB=CD,求⊙O半徑.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】分析: (1)首先連接CO,根據(jù)CD與⊙O相切于點C,可得:∠OCD=90°;然后根據(jù)AB是圓O的直徑,可得:∠ACB=90°,據(jù)此判斷出∠CAD=∠BCD,即可推得△ADC∽△CDB.

(2)首先設(shè)CDx,則AB=32x,OC=OB=34x,用x表示出OD、BD;然后根據(jù)△ADC∽△CDB,可得:ACCB=CDBD,據(jù)此求出CB的值是多少,即可求出⊙O半徑是多少.

詳解:

(1)證明:如圖,連接CO,

,

CD與⊙O相切于點C,

∴∠OCD=90°,

AB是圓O的直徑,

∴∠ACB=90°,

∴∠ACO=BCD,

∵∠ACO=CAD,

∴∠CAD=BCD,

ADCCDB中,

∴△ADC∽△CDB.

(2)解:設(shè)CDx,

AB=x,OC=OB=x,

∵∠OCD=90°,

OD===x,

BD=OD﹣OB=x﹣x=x,

由(1)知,ADC∽△CDB,

=,

解得CB=1,

AB==,

∴⊙O半徑是

點睛: 此題主要考查了切線的性質(zhì)和應(yīng)用,以及勾股定理的應(yīng)用,要熟練掌握.

練習冊系列答案
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