Question

（2012•大慶）已知半徑為1cm的圓，在下面三個(gè)圖中AC=10cm，AB=6cm，BC=8cm，在圖2中∠ABC=90°．
（l）如圖1，若將圓心由點(diǎn)A沿A→C方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，求圓掃過(guò)的區(qū)域面積；
（2）如圖2，若將圓心由點(diǎn)A沿A→B→C方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，求圓掃過(guò)的區(qū)域面積；
（3）如圖3，若將圓心由點(diǎn)A沿A→B→C→A方向運(yùn)動(dòng)回到點(diǎn)A．
則：I）陰影部分面積為

6cm²

；Ⅱ）圓掃過(guò)的區(qū)域面積為

（42+π）cm²

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形可得，圓掃過(guò)的面積等于一個(gè)長(zhǎng)為AC，寬為直徑的矩形面積，加上一個(gè)圓的面積，從而求解即可．
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算方法，由點(diǎn)A沿A→B→C方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，求圓掃過(guò)的區(qū)域面積，等于圓經(jīng)過(guò)AB掃過(guò)的面積+經(jīng)過(guò)BC掃過(guò)的面積-（

3

4

個(gè)圓的面積+一個(gè)邊長(zhǎng)為r的正方形的面積）；
（3）根據(jù)題意補(bǔ)充圖形，先判斷出DA和FC為角平分線(xiàn)，然后利用二倍角公式（tan

1

2

α=

sinα

1+cosα

）求出陰影部分的兩條直角邊；圓掃過(guò)的區(qū)域面積=題（2）中掃過(guò)的面積+圓經(jīng)過(guò)CA掃過(guò)的面積-（圖3中兩個(gè)藍(lán)線(xiàn)所畫(huà)陰影部分的面積）．

解答：解：（1）

由題意得，圓掃過(guò)的面積=DE×AC+πr²=（20+π）cm²．
（2）

圓掃過(guò)的區(qū)域面積=圓經(jīng)過(guò)AB掃過(guò)的面積+經(jīng)過(guò)BC掃過(guò)的面積-圖2中紅線(xiàn)圍成區(qū)域的面積（即是

3

4

個(gè)圓的面積+一個(gè)邊長(zhǎng)為r的正方形的面積），
結(jié)合（1）的求解方法，可得所求面積=（2r×AB+πr²）+（2r×BC+πr²）-（

3

4

πr²+r²）=2r（AB+BC）+

5

4

πr²-1=（27+

5

4

π）cm²．
（3）根據(jù)題意補(bǔ)充圖形如下所示，

連接MH，AG和AD；連接ON、CP和CF，
∵AG⊥GD，AH⊥DH，AG=AH=1cm，
∴DA為∠GDH的角平分線(xiàn)（角平分線(xiàn)性質(zhì)定理的逆定理），
∴∠ADG=∠ADH=

1

2

∠GDH=

1

2

∠EDF，
∵sin∠EDF=sin∠BAC=

4

5

，cos∠EDF=cos∠BAC=

3

5

，
∴tan∠ADG=

AG

GD

=tan

1

2

∠EDF=

sin∠EDF

1+cos∠EDF

=

4 5

1+ 3 5

=

1

2

，
∴DG=DH=2cm，
同理可求出：FP=FO=3cm，
∴DE=AB-DH-r=6-2-1=3cm，EF=BC-FO-r=8-3-1=4cm，
故陰影部分的面積為：

1

2

×3×4=6cm²；
而此時(shí)圓掃過(guò)的區(qū)域面積=題（2）中掃過(guò)的面積+圓經(jīng)過(guò)CA掃過(guò)的面積-（圖3中兩個(gè)藍(lán)線(xiàn)所畫(huà)陰影部分的面積），
∵∠MAG+∠GAB=∠GAB+∠BAC=90°，
∴∠MAG=∠BAC，
同理可求出：∠PCN=∠BCA，
∴∠MAG+∠PCN=∠BAC+∠BCA=90°，
∴圖3中兩個(gè)藍(lán)線(xiàn)所畫(huà)陰影部分的面積=（△AGD+△AHD+△FPC+△FOC+

5

4

個(gè)圓）的面積=2×

1

2

×1×2+2×

1

2

×1×3+

5

4

•π•1²=（5+

5

4

π）cm²，
又圓經(jīng)過(guò)CA掃過(guò)的面積=2r×AC+πr²=（20+π）cm²，
∴圓掃過(guò)的區(qū)域面積=（27+

5

4

π）+（20+π）-（5+

5

4

π）=（42+π）cm²．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出掃描過(guò)后的面積是由哪些部分組成的，有一定難度，注意仔細(xì)觀察圖形，并對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行靈活運(yùn)用．