Question

菱形ABCD邊長為4，∠BAD=60°，點E是AD上一動點（不與A、D重合），點F是CD上一動點，AE+CF=4，則△BEF面積的最小值為（　　）

• A、2

  3

• B、3

  3

• C、4

  3

• D、6

  3

Answer 1

分析：根據(jù)菱形ABCD邊長為4，∠BAD=60°求出菱形兩條對角線的長度及ABE的邊CF上的高、_^△BCF的邊AE上的高，_^△DEF，進而求出菱形的面積及△ABE、_{^{△BCF的面積}}，然后根據(jù)AE+CF=4和∠ADC=120°，求出△DEF的面積；由圖示可知：S_△BEF=S_菱形ABCD-S_△ABE-S_△BCF-S_△DEF，代入數(shù)值根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答：解：∵菱形ABCD邊長為4，∠BAD=60°；
∴△ABD與△BCD為正三角形；
∴BD=4，AC=4

3

，△ABE的邊AE上的高與_^△BCF的邊CF上的高都為2

3

，∠ADC=120；
設(shè)AE為x，則CF為4-x；
∴S_△DEF=

1

2

ED•DFsin120°=

1

2

（4-x）[4-（4-x）]

3

2

=-

3

4

x²+

3

x；
由圖示可知：S_△BEF=S_菱形ABCD-S_△ABE^--S_△BCF-S_△DEF
=

1

2

×4×4

3

-

3

CF-

3

AE-S_△DEF
=8

3

-

3

（CF+AE）-S_△DEF
=8

3

-4

3

-S_△DEF
=

3

4

x²-

3

x+4

3

；
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，△BEF面積的最小值=

-△

4a

=

4× 3 4 ×4 3 -3

3

=

9

3

=3

3

．
故選B．

點評：求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．此題結(jié)合面積和銳角三角函數(shù)知識解答，是一道好的綜合題．